Toán [Đại số 9] Chứng minh BĐT

[Hoàng Hiếu031]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho [TEX]a+b+c=1[/TEX] chứng minh [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX]
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]A= x^4 + y^4 +z^4[/TEX] biết rằng [TEX]xy+yz+zx=1[/TEX]
3) Chứng minh [TEX]xy\leq (\frac{x+y}{2})^2 [/TEX]
4) Cho [TEX]x+y=16[/TEX]. Chứng minh [TEX]x^2 + xy +y^2 \geq 192[/TEX]
5) Chứng minh [tex]\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

$1)a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
$2)x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$3)xy\leq (\dfrac{x+y}{2})^2=\dfrac{(x+y)^2}{4}\iff 4xy\leq (x+y)^2\iff (x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
$4)x+y=16\iff x^2+2xy+y^2=256\implies x^2+xy+y^2=256-xy\geq 256-\dfrac{(x+y)^2}{4}=256-64=192$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=8$
$5)a,b$ ở đâu ra vậy phải là $\sqrt{xy}$ chứ nhỉ? ^^
$\dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\iff \dfrac{(x+y)^2}{4}\geq xy\iff (x+y)^2\geq 4xy\iff (x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

 

[Xámm]

1) Cho [TEX]a+b+c=1[/TEX] chứng minh [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX]
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]A= x^4 + y^4 +z^4[/TEX] biết rằng [TEX]xy+yz+zx=1[/TEX]
3) Chứng minh [TEX]xy\leq (\frac{x+y}{2})^2 [/TEX]
4) Cho [TEX]x+y=16[/TEX]. Chứng minh [TEX]x^2 + xy +y^2 \geq 192[/TEX]
5) Chứng minh [tex]\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex]

Câu 1 trước nhé:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow 3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 1 \Rightarrow 3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2} \Rightarrow 3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \Rightarrow 3.a^{2}+3.b^{2}+3.c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \Rightarrow 2.a^{2}+2.b^{2}+2.c^{2}\geq 2ab+2bc+2ca \Rightarrow a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}+2ca-a^{2}\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0[/tex]
Dấu = sảy ra khi a=b=c=1/3
Vì các phép biến đổi trên tương đương nên đẳng thức ban đầu đúng
Suy ra đpcm

 

[Saukhithix2]

$1)a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
$2)x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$3)xy\leq (\dfrac{x+y}{2})^2=\dfrac{(x+y)^2}{4}\iff 4xy\leq (x+y)^2\iff (x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
$4)x+y=16\iff x^2+2xy+y^2=256\implies x^2+xy+y^2=256-xy\geq 256-\dfrac{(x+y)^2}{4}=256-64=192$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=8$
$5)a,b$ ở đâu ra vậy phải là $\sqrt{xy}$ chứ nhỉ? ^^
$\dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\iff \dfrac{(x+y)^2}{4}\geq xy\iff (x+y)^2\geq 4xy\iff (x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

Câu 1 trước nhé:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow 3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 1 \Rightarrow 3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2} \Rightarrow 3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \Rightarrow 3.a^{2}+3.b^{2}+3.c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \Rightarrow 2.a^{2}+2.b^{2}+2.c^{2}\geq 2ab+2bc+2ca \Rightarrow a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}+2ca-a^{2}\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0[/tex]
Dấu = sảy ra khi a=b=c=1/3
Vì các phép biến đổi trên tương đương nên đẳng thức ban đầu đúng
Suy ra đpcm

Này nữ thần mặt trăng bạn trả lời rõ như Xámm kia kìa không chủ top không hiểu

 

[Saukhithix2]

1/áp dụng BĐT bunhiacopxki
(a² + b² + c²).(1+1+1) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)² = 1
=> a² + b² + c² ≥ 1/3

dấu "=" xảy ra <=> a/1 = b/1 = c/1 => a = b = c = 1/3

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Này nữ thần mặt trăng bạn trả lời rõ như Xámm kia kìa không chủ top không hiểu

có lẽ mk làm tắt quá ^^
$1.$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 3 số: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
$\implies a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}=\dfrac{(a+b+c)^2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
$2.$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$x^4+y^4\geq x^2y^2;y^4+z^4\geq y^2z^2;z^4+x^4\geq z^2x^2$
$\implies x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 3 số: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
$\implies x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\dfrac{x^2y^2}{1}+\dfrac{y^2z^2}{1}+\dfrac{z^2x^2}{1}\geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $xy=yz=zx\iff x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Vậy...
$4.$
$x+y=16\iff (x+y)^2=256\iff x^2+2xy+y^2=256\\\implies x^2+xy+y^2=256-xy$
Áp dụng BĐT $xy\leq \dfrac{(x+y)^2}{4}$ (ở bài 3)
$\implies x^2+xy+y^2=256-xy\geq 256-\dfrac{(x+y)^2}{4}=256-64=192$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=8$
Còn bài 3 vs 5 thì chắc hiểu rồi ^^

 

[Saukhithix2]

có lẽ mk làm tắt quá ^^
$1.$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 3 số: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
$\implies a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}=\dfrac{(a+b+c)^2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
$2.$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$x^4+y^4\geq x^2y^2;y^4+z^4\geq y^2z^2;z^4+x^4\geq z^2x^2$
$\implies x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 3 số: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
$\implies x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\dfrac{x^2y^2}{1}+\dfrac{y^2z^2}{1}+\dfrac{z^2x^2}{1}\geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $xy=yz=zx\iff x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Vậy...
$4.$
$x+y=16\iff (x+y)^2=256\iff x^2+2xy+y^2=256\\\implies x^2+xy+y^2=256-xy$
Áp dụng BĐT $xy\leq \dfrac{(x+y)^2}{4}$ (ở bài 3)
$\implies x^2+xy+y^2=256-xy\geq 256-\dfrac{(x+y)^2}{4}=256-64=192$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=8$
Còn bài 3 vs 5 thì chắc hiểu rồi ^^

Đang định làm đầy đủ cho chủ top nhưng bạn làm rồi nên thôi

 

[Xámm]

Tiếp câu 2 nè:

Đang định làm đầy đủ cho chủ top nhưng bạn làm rồi nên thôi

Cùng ý kiến
r107r107r107

 

[Trịnh Hoàng Quân]

2)x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥(xy+yz+zx)23=132)x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{3}=\dfrac{1}{3}

Sao chưa chứng minh mà đã làm luôn vậy bạn
Cô-si:

Mà:

(qua câu 1 cảu bạn Xámm)
=> ĐPCM

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Đang định làm đầy đủ cho chủ top nhưng bạn làm rồi nên thôi

à ở bài 2 mk viết nhầm á phải là $x^4+y^4\geq 2x^2y^2$ (2 cái còn lại tg tự) ^^

Sao chưa chứng minh mà đã làm luôn vậy bạn
Cô-si:

Mà:

(qua câu 1 cảu bạn Xámm)
=> ĐPCM

bạn viết nhầm $c^2$ thành $z^2$ kìa ^^