[Đại số 9]Bất đẳng thức

[motminhdidem]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a,b,c$ \geq $0$. CMR $a^3+b^3+c^3$ \geq $a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}$

2. Cho $a,b,c$ \geq $0$. CMR $\sqrt{2}(a+b+c)$ \geq $\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)}$

3. Cho $a,b,c > 0$. CMR $\frac{a^3}{b}$+$\frac{b^3}{c}$+$\frac{c^3}{a}$ \geq $a^2+b^2+c^2$

p/s: Bài đầu là Côssi. 2 bài còn lại là Bunhia.

 

[braga]

3. Cho $a,b,c > 0$. CMR $\frac{a^3}{b}$+$\frac{b^3}{c}$+$\frac{c^3}{a}$ \geq $a^2+b^2+c^2$

p/s: Bài đầu là Côssi. 2 bài còn lại là Bunhia.

$$\dfrac{a^{3}}{b}+\dfrac{b^{3}}{c}+\dfrac{c^{3}}{a}= \dfrac{a^{4}}{ab}+\dfrac{b^{4}}{bc}+\dfrac{c^{4}}{ac}\geq \dfrac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{ab+bc+ca}\geq \dfrac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= a^{2}+b^{2}+c^{2}$$

 

[conga222222]

thực ra thì 3 bài này khá là cơ bản và có thể dùng cosi để cm cả ba bài đó -->có lẽ đây chính là lý do không ai trả lời
$\eqalign{
& 1)cosi: \cr
& {a^3} + {a^3} + {a^3} + {a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 6{a^2}\sqrt {bc} \cr
& tuong\;tu\;la\;xong \cr
& 2)\cos i: \cr
& 2a + \left( {b + c} \right) \ge \sqrt {2a\left( {b + c} \right)} \cr
& 2b + \left( {a + c} \right) \ge \sqrt {2b\left( {a + c} \right)} \cr
& 2c + \left( {a + b} \right) \ge \sqrt {2c\left( {a + b} \right)} \cr
& cong\;lai\;la\;xong \cr
& 3)\cos i: \cr
& {{{a^3}} \over b} + ab \ge 2{a^2} \cr
& {{{b^3}} \over c} + bc \ge 2{b^2} \cr
& {{{c^3}} \over a} + ac \ge 2{c^2} \cr
& \to VT \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) \cr
& \cos i: \cr
& {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr
& {b^2} + {c^2} \ge 2bc \cr
& {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr
& \to {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \cr
& \to VT \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} = VP \cr} $

 

[eye_smile]

1,Cách khác:

$a^3+abc \ge 2a^2\sqrt{bc}$

$b^3+abc \ge 2b^2\sqrt{ac}$

$c^3+abc \ge 2c^2\sqrt{ab}$

\Rightarrow $a^3+b^3+c^3 \ge (a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})+(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}-3abc) \ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$

(Do $a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab} \ge 3\sqrt[3]{a^2\sqrt{bc}.b^2\sqrt{ac}.c^2\sqrt{ab}}=3abc$ \Rightarrow $a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}-3abc \ge 0$ )

 

[eye_smile]

2,Có:

$(\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(a+c)}+\sqrt{c(a+b)})^2 \le (a+b+c)(b+c+a+c+a+b)=2(a+b+c)^2$

\Rightarrow đpcm