Toán đại số 8

[Elishuchi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn : a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn : a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
View attachment 43809

Ta có:
*$3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
$=(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a$
$\ge 2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a=3(a^2b+b^2c+c^2a)$ (Cosi)
$\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le a^2+b^2+c^2$.
*$a^2+b^2+c^2\ge \dfrac{(a+b+c)^2}3=3$.
$\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}
\\=a^2+b^2+c^2+\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}
\\=a^2+b^2+c^2+\dfrac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}
\\=\dfrac{a^2+b^2+c^2}2+\dfrac 9{2(a^2+b^2+c^2)}-\dfrac12+\dfrac{a^2+b^2+c^2}2
\\\ge 3-\dfrac12+\dfrac 32=4$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.