Đại số 8

[hoangbnnx99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Giải phương trình: $x^4-30x^2+31x-30=0$

Bài 2: $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1$. CMR: $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=0$ (Hướng dẫn:

Nhân cả 2 vế với a+b+c)

Bài 3: Cho a,b,c là 3 số dương có tổng bằng 1. CMR:

1/a+1/b+1/c lớn hơn hoặc bằng 9

Bài 4: Cho a,b dương và $a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}$. Tính $a^{2013}+b^{2013}$

 

[thong7enghiaha]

3.

Vì $a; b; c > 0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

* $a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$ (1)

* $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}$ (2)

Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 3\sqrt[3]{abc}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 9$ (vì $a+b+c=1$)

 

[thong7enghiaha]

4.

* $a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}$

\Leftrightarrow $a^{2000}(a-1)+b^{2000}(b-1)=0$ (1)

* $a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}$

\Leftrightarrow $a^{2001}(a-1)+b^{2001}(b-1)=0$ (2)

$(2) - (1)$ ta có:

$a^{2000}(a-1)^2+b^{2000}(b-1)^2=0$

Vì $a; b$ là các số dương \Rightarrow $a=1; b=1$

Thay vào ta có:

$a^{2013}+b^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=2$

 

[braga]

Bài 1:
[TEX]x^4-30x^2+31x-30=0 \\ \Leftrightarrow x^4-25x^2-5x^2+25x+6x-30=0 \\ \Leftrightarrow x^2(x-5)(x+5)-5x(x-5)+6(x-5)=0 \\ \Leftrightarrow (x-5)(x^3+5x^2-5x+6)=0 \\ \Leftrightarrow (x-5)(x+6)(x^2-x+1)=0 \\ \Leftrightarrow \[x=5 \\ x=-6 [/TEX]

Vậy tập nghiệm của phương trình: [TEX]\fbox{S=(-6;5)}[/TEX]

 

[cry_with_me]

Bài 2:

Đặt $P=\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b}$

và $Q = \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{a+c} + \dfrac{c^2}{a+b}$

Nhân cả 2 vế của P với a,b,c:

$P_a = \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{ab}{c+a} + \dfrac{ac}{a+b}$

$P_b = \dfrac{ab}{b + c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{bc}{a+b}$

$P_c = \dfrac{ac}{b + c} + \dfrac{bc}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b}$

$\rightarrow P_{(a+b+c)} = \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b} + \dfrac{b(a+c)}{c+a} + \dfrac{c(a+b)}{a+b} + \dfrac{a(b+c)}{b+c}$

$ = Q + (a+b+c)$

$\rightarrow (P-1)(a + b+ c = Q$


Vì $P=1 \rightarrow Q=0$

$\fbox{đpcm}$

 

[eye_smile]

Bài 3: Cho a,b,c là 3 số dương có tổng bằng 1. CMR:
1/a+1/b+1/c lớn hơn hoặc bằng 9

Cách khác nè!
Ta có: $\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) = 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + 1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} + 1 + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = 3 + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) \ge 9$ (do với x, y dương thì $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge \dfrac{{2xy}}{{xy}} = 2$ )