Bài 7: Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=abc
CM: a(b^2−1)(c^2−1)+b(a^2−1)(c^2−1)+c(a^2−1)(b^2−1)=4abc
Ta có:
$A = a\left( {{b^2} - 1} \right)\left( {{c^2} - 1} \right) + b\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{c^2} - 1} \right) + c\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{b^2} - 1} \right)$
$ = \left( {a{b^2}{c^2} - a{b^2} - a{c^2} + a} \right) + \left( {{a^2}b{c^2} - b{c^2} - {a^2}b + b} \right) + \left( {{a^2}{b^2}c - {a^2}c - {b^2}c + c} \right)$
$ = \left( {a{b^2}{c^2} + {a^2}b{c^2} + {a^2}{b^2}c} \right) - \left( {a{b^2} + a{c^2} + b{c^2} + {a^2}b + {a^2}c + {b^2}c} \right) + \left( {a + b + c} \right)$
$ = abc\left( {bc + ac + ab} \right) - \left( {a{b^2} + a{c^2} + b{c^2} + {a^2}b + {a^2}c + {b^2}c} \right) + abc$
$ = \left( {a + b + c} \right)\left( {bc + ac + ab} \right) - \left( {a{b^2} + a{c^2} + b{c^2} + {a^2}b + {a^2}c + {b^2}c} \right) + abc$
$4 = \left( {abc + {a^2}c + {a^2}b + {b^2}c + abc + a{b^2} + b{c^2} + a{c^2} + abc} \right) - \left( {a{b^2} + a{c^2} + b{c^2} + {a^2}b + {a^2}c + {b^2}c} \right) + abc$
$ = 3abc + \left( {a{b^2} + a{c^2} + b{c^2} + {a^2}b + {a^2}c + {b^2}c} \right) - \left( {a{b^2} + a{c^2} + b{c^2} + {a^2}b + {a^2}c + {b^2}c} \right) + abc$
$ = 4abc$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn