Bài 1.
Giả sử ([TEX]x_0 ; y_0[/TEX]) là nghiệm của phương trình [TEX]x^2 - 5y^2[/TEX] = 0 thì : [TEX]x_0^2 - 5y_0^2[/TEX] = 0 \Rightarrow [TEX]x_0[/TEX] chia hết cho 5, đặt [TEX]x_0 = 5x_1[/TEX] ; ([TEX]x_1[/TEX] Є Z), ta có : [TEX]25x_1^2 - 5y_0^2[/TEX] = 0 \Leftrightarrow [TEX]5x_1^2 - y_0^2[/TEX] = 0
=>[TEX] y_0[/TEX] chia hết cho 5, đặt [TEX]y_0 = 5y_1[/TEX] ; ([TEX]y_1[/TEX] Є Z).
Từ đó ta có : [TEX]5x_1^2 - 25y_1^2[/TEX] = 0 \Leftrightarrow [TEX]x_1^2 - 5y_1^2 [/TEX]= 0.
Vậy nếu ([TEX]x_0 ; y_0[/TEX]) là nghiệm nguyên của phương trình [TEX]x^2 - 5y^2[/TEX] = 0 thì ([TEX]\frac{x_o}{5} ; \frac{y_o}{5}[/TEX]) cũng là nghiệm nguyên của phương trình [TEX]x^2 - 5y^2[/TEX] = 0 .
Tiếp tục lập luận tương tự, ta có với k nguyên dương bất kì, cũng là nghiệm nguyên của phương trình [TEX]x^2 - 5y^2[/TEX] = 0 hay [TEX]x_0[/TEX] và [TEX]y_0[/TEX] đều chia hết cho 5k với mọi k là số nguyên dương tùy ý. Điều này chỉ xảy ra khi [TEX]x_0 = y_0[/TEX] = 0.
Vậy phương trình [TEX]x^2 - 5y^2[/TEX] = 0 có nghiệm duy nhất là x = y = 0.