[Đại số 8]Phương pháp quy nạp toán học

[quynhnhung81]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là một phương pháp rất có ích cho chúng ta trong việc chứng minh một mệnh đề Toán học. Vì vậy, mình tạo ra topic mày để mọi người cùng trao đổi về nó nhé.
(Nói sơ qua tí)
Trong Toán học, để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với \foralln \geq [TEX]n_0[/TEX]
- Chứng minh A(n) đúng với n=[TEX]n_0[/TEX]
- và nếu A(n) đúng với n=k nào đó thì cũng đúng với n= k+1
Bây giờ đến một số bài luyện tập:
Chứng minh các đẳng thức sau:
1.a)[TEX]A= 1.2+2.5+3.8+...+n(3n-1)=n^2(n+1)[/TEX]
b)[TEX]B= \frac{(n+1)(n+2)...(3n-1)(3n)}{3^n} \in Z, \forall{n} \in N* [/TEX]
2. Chứng minh rằng số được thành lập bởi [TEX]3^n[/TEX] chữ số giống nhau thì chia hết cho [TEX]3^n[/TEX] trong đó n là một số nguyên dương cho trước.

 

[quocchung0023]

Thank bạn 1 phát.
Nhưng mjk vẫn ko hiểu cho lém.

 

[quynhnhung81]

Nếu bạn chưa hiểu thì để mình giúp cho một bài trước nhé, mấy bài sau làm tương tự, mình sẽ làm bài 1a:
[TEX]A=1.2+2.5+...+n(3n-1)=n^2(n+1)[/TEX]
Giải:
Ta thấy đẳng thức trên đúng với n=1 vì [TEX]1.(3.1-1)= 1^2(1+1)[/TEX]
Giả sử đẳng thức đúng với n=k (k thuộc N, 1\leqk\leqn)( đây là giả thiết quy nạp)
Ta có [TEX]A= 1.2+2.5+...+k(3k-1)= k^2(k+1)[/TEX]. Ta sẽ chứng minh rằng đẳng thức đúng với n= k+1. Tức là [TEX] A_(k+1)= 1.2+2.5+...+k(3k-1)+(k+1)[3(k+1)-1]=(k+1)^2(k+2)[/TEX]
Thật vậy ta có:
[TEX] A_(k+1)= 1.2+2.5+...+k(3k-1)+(k+1)[3(k+1)-1][/TEX]
[TEX] = A_(k) +[(k+1)[3(k+1)-1][/TEX]
[TEX] = k^2(k+1) +[(k+1)[3(k+1)-1][/TEX]
[TEX] = (k+1)(k^2+ 3k+ 2)[/TEX]
[TEX] = (k+1)^2(k+2)[/TEX]
\Rightarrow dpcm

 

[hoa_giot_tuyet]

Có một số bạn pm mình về phương pháp này nhưng ko hiểu vì thế mình xin được tóm gọn vì sao lại có quy tắc này và sử dụng như thế nào

Ta lấy trò chơi đôminô để minh hoạ cho phương pháp này. Giả sử có 1 dãy vô hạn các quân đôminô được xếp sao cho chúng đứng cạnh nhau và được đánh số 1,2,3,... Các quân đôminô đc xếp sao cho nếu có 1 quân thứ k nào đó bị đổ thì quân thứ k+1 cũng bị đổ theo. Khi đó, muốn cho tất cả các quân đôminô đều đổ thì chỉ cần tác động làm cho quân đầu tiên bị đổ.

Trong toán học, để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi n \geq p ta thực hiện theo 2 bước:
_ Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p (p là một số điều kiện cho của bài toán, ví dụ c/m với mọi [TEX]n \in N[/TEX] thì ta sẽ có n \geq 0 \Rightarrow ta kiểm tra với n = 0)
_ Giả sử mệnh đề đúng với n = k thì ta c/m mệnh đề cũng đúng với n = k+1 thì bài toán đã đc c/m xong

Để dễ hiểu: Nếu ta đã c/m đc n = k+1 đúng. Ta có n = 1 đúng \Rightarrow n = 2 đúng. Lại tiếp tục n = 2 đúng \Rightarrow n=3 đúng... cứ như vậy

*Lưu ý: Quy nạp thường đc sử dụgn cho bài toán phụ thuộc vào n. Và nếu ta ko có n = p đúng thìcác bước sau ko thể thực hiện.
Khi c/m n đúng với n = k+1 ta có thể áp dụng là n = k đúng (vì ta đã giả sử rồi)

Các minh hoạ

Dạng 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức

Có thể lấy bài bạn Nhung làm vd

Nếu bạn chưa hiểu thì để mình giúp cho một bài trước nhé, mấy bài sau làm tương tự, mình sẽ làm bài 1a:

[TEX]A=1.2+2.5+...+n(3n-1)=n^2(n+1)[/TEX]

Giải:

Ta thấy đẳng thức trên đúng với n=1 vì [TEX]1.(3.1-1)= 1^2(1+1)[/TEX]

Giả sử đẳng thức đúng với n=k (k thuộc N, 1kn)( đây là giả thiết quy nạp)

Ta có [TEX]A= 1.2+2.5+...+k(3k-1)= k^2(k+1)[/TEX]. Ta sẽ chứng minh rằng đẳng thức đúng với n= k+1. Tức là [TEX] A_(k+1)= 1.2+2.5+...+k(3k-1)+(k+1)[3(k+1)-1]=(k+1)^2(k+2)[/TEX]

Thật vậy ta có:

[TEX] A_(k+1)= 1.2+2.5+...+k(3k-1)+(k+1)[3(k+1)-1][/TEX]

[TEX] = A_(k) +[(k+1)[3(k+1)-1][/TEX]

[TEX] = k^2(k+1) +[(k+1)[3(k+1)-1][/TEX]

[TEX] = (k+1)(k^2+ 3k+ 2)[/TEX]

[TEX] = (k+1)^2(k+2)[/TEX]

dpcm

Thử làm vd này nhé, đầu tiên fải dễ đã

C/m [TEX]\forall n \in N[/TEX] ta lun có:

[TEX] 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]

(mọi người để bạn ấy làm nhé, đừng tranh :-j)

Dạng 2. Dùng quy nạp để chứng minh chia hết

(upload sau ... )

 

[khanhtoan_qb]

[TEX] 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]

Cho tui tham gia với nghe bà Tuyết.

Giải nha.

Xét n = 1

\Rightarrow [TEX]1 = \frac{1 (1 + 1)}{2} = 1[/TEX]\Rightarrow mệnh đề đúng với n = 1

Giả sử, mệnh đề đúng với n = k

hay [TEX]1 + 2 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2}[/TEX](*)

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Hay phải chứng minh [TEX]1 + 2 + ... + k + k + 1 = \frac{(k+ 1)(k + 2)}{2} [/TEX]

(*) \Rightarrow [TEX]1 + 2 + 3 +... + k + k + 1 = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}[/TEX]

\Rightarrow mệnh đề đúng với n = k + 1

\Rightarrow đpcm

~>> Haizzz... đã bảo để bạn đó giải mà :|

 

[khanhtoan_qb]

Zời ạ, thui đền cho bà bài này nè, hình như bìa này bà giải rùi thì phải
Chứng minh
[TEX]1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}[/TEX]
đó giải bằng phương pháp qui nạp đó

 

[ae97]

Zời ạ, thui đền cho bà bài này nè, hình như bìa này bà giải rùi thì phải
Chứng minh
[TEX]1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}[/TEX]
đó giải bằng phương pháp qui nạp đó

Với n=k=1 đẳng thức đúng
Giả thiết đẳng thức đúng với n=k
Ta có[tex]1^3+2^3+.....+n^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}[/tex]
ta cm đẳng thức đúng với n=k+1
thay n=k+1 vào ta có
[tex]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/tex]
[TEX]\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} [/TEX]
[TEX]\frac{k^2}{4}+(k+1)=\frac{(k+2)^2}{4}[/TEX]
[TEX]k+1=\frac{(k+2)^2}{4}-\frac{k^2}{4}[/TEX](đẳng thức đúng)
\Rightarrow đpcm

 

[khanhtoan_qb]

Chém nhanh nhỉ.
típ nghe, xong bài này thì tui đã trả được nợ cho bà Tuyết )))))
Chứng minh với mọi n nguyên dương thì ta có:
[TEX]7^{n + 2} + 8^{2n + 1} [/TEX] chia hết cho 19
Xong, hoàn thành nhiệm vụ rồi nghen

 

[ae97]

Chém nhanh nhỉ.
típ nghe, xong bài này thì tui đã trả được nợ cho bà Tuyết )))))
Chứng minh với mọi n nguyên dương thì ta có:
[TEX]7^{n + 2} + 8^{2n + 1} [/TEX] chia hết cho 19
Xong, hoàn thành nhiệm vụ rồi nghen

típ nha n=k=1 đẳng thức luôn đúng
giả thiết n đúng k=1[TEX]7^{k+2}+8^{2k+1} [/TEX] chia hết cho 19
thay n=k+1 vào ta có
[TEX]7^{k+3}+8{2k+3} [/TEX]=[TEX]7.7^{k+2}+64.8^{2k+1}[/TEX]
=[TEX]7(7^{k+2}+8^{2k+1})+57.8^{2k+1}[/TEX]chia hết cho 19

 

[hoa_giot_tuyet]

Tks đó đc chưa ku =))

Tiếp tục với dạng c/m chia hết = quy nạp nhé :x

1. C/m [TEX]A = 2^2^{2n} + 5 \ \vdots \ 7 \forall n \in N[/TEX]

2. C/m [TEX]A(n) = (n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) \ \vdots \ 2^n \forall n \in Z+[/TEX]

3. C/m [TEX]2^4^n + 5 \ \vdots \ 21 \forall n \geq 1, n \in N[/TEX]

 

[khanhtoan_qb]

Tks đó đc chưa ku =))

Tiếp tục với dạng c/m chia hết = quy nạp nhé :x

2. C/m [TEX]A(n) = (n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) \ \vdots \ 2^n \forall n \in Z+[/TEX]

Chém bài 2 thui, không thì bà Tuyết bắt tui đi làm kem mất )))
Thế này nha.
Với n = 0 thì [TEX]A(0) = 0 \ \vdots \ 2[/TEX] mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n = k hay
[TEX]A_{(k)} = (k + 1)(k + 2)(k + 3)...(k + k) \ \vdots \ 2^k[/TEX]
Ta phải chứng minh n = k +1 đúng với mệnh đề hay
[TEX]A_{(k + 1)} = (k + 2)(k + 3)...(k + k + 2) \ \vdots \ 2^{k + 1}[/TEX]
Ta có [TEX]A_{(k + 1)} = A_{(k)} . \frac{(k + k + 1)(k + k + 2)}{k + 1}[/TEX]
[TEX]= 2^k . 2 . (2k + 1) = 2^{k + 1} . (2k + 1)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A_{(k + 1)} \vdots 2^{k + 1}[/TEX]
\Rightarrow đpcm

 

[thienlong_cuong]

b)[TEX]B= \frac{(n+1)(n+2)...(3n-1)(3n)}{3^n} \in Z, \forall{n} \in N* [/TEX]

[TEX]B= \frac{(n+1)(n+2)...(3n-1)(3n)}{3^n} = \frac{1.2.3...n.(n+1)(n+2)...(3n-1)(3n)}{1.2.3...n.3^n} = \frac{[1.4.7...(3n - 2)].[2.5.8....(3n -1)].[3.6.9....3n]}{1.2.3...n.3^n} [/TEX]

Thấy đến đó chắc OK !

 

[linh9xqt123]

ai giúp mình làm bài này cái mình mới học lớp 8 nên hơi ngu:3:
P=(1- \frac{4}{1} )(1- \frac{4}{9} )(1- \frac{4}{25} )...(1- \frac{4}{(2n-1)^2} )

 

[linh9xqt123]

bài này nek giúp mình cái nha
P=(1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{{2n-1}^{2}}

 

[phamhuy20011801]

bài này nek giúp mình cái nha
[TEX]P=(1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{{2n-1}^{2}}[/TEX]

bạn tham khảo tại đây

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=243647