[ Đại số 8] Hằng đẳng thức mở rộng

[katoriitto]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a + b + c = 0 ; a.b.c=1
Tính : [TEX]a^3 + b^3 + c^3[/TEX]
2.
a ) Cho a + b + c = 0 ; [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
Tính A = [TEX]a^4 + b^4 + c^4[/TEX]
b) Tính [TEX]( a+b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)......({a^2}^ {2004} + {b^2}^{2004}) [/TEX]
3. Tính B= [TEX](a + b + c)^3 - ( b + c - a )^3 [/TEX]

 

[yumi_26]

Bài 1:
$a + b + c = 0$
\Leftrightarrow $$a+b=-c$$
\Leftrightarrow $$(a+b)^3 = -c^3$$
\Leftrightarrow $$(a+b)^3 + c^3 = 0$$
\Leftrightarrow $$ a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 = 0$$
\Leftrightarrow $$a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(a+b)= -3ab.(-c) = 3abc = 3.1=3$$

 

[nkoxsjeuway]

2.
Ta có a+b+c=0 (gt)
\Rightarrow [TEX](a+b+c)^2=0[/TEX]
nên [TEX]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0[/TEX] (áp dụng hằng đẳng thức mở rộng)
[TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
\Rightarrow 1+2ab+2ac+2bc=0
\Leftrightarrow 2(ab+ac+bc)=-1
\Leftrightarrow ab+ac+bc=[TEX]\frac{-1}{2}[/TEX]
\Rightarrow (ab+ac+bc)^2=[TEX]\frac{1}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.c^2+2a^2.bc+2ab^2.c+2abc^2=\frac{1}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.c^2+2abc(a+b+c)=\frac{1}{4}[/TEX]
a+b+c=0
nên [TEX]a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.c^2=\frac{1}{4}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2.(a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.c^2)=\frac{1}{2}[/TEX] (*)
mà [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX] (gt)
\Rightarrow [TEX](a^2+b^2+c^2)^2=1[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^4+b^4+c^4+2a^2.b^2+2a^2.c^2+2b^2.c^2=1[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^4+b^4+c^4+2(a^2.b^2+a^2.c^2+b^2.c^2)=1[/TEX]
Từ (*) suy ra
[TEX]a^4+b^4+c^4+\frac{1}{2}=1[/TEX]
Vậy[TEX]a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[harrypham]

2. b) Ta có [TEX](a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4) \cdots (a^2^{2004}+b^2^{2004})[/TEX]
[TEX]= \frac{a^2-b^2}{a-b}(a^2+b^2)(a^4+b^4) \cdots (a^2^{2004}+b^2{2004})[/TEX]
[TEX]= \frac{(a^4-b^4)(a^4+b^4) \cdots (a^2^{2004}+b^2^{2004})}{a-b}[/TEX]
[TEX]= \frac{(a^2^{2004}-b^2^{2004})(a^2^{2004}+b^2^{2004})}{a-b}[/TEX]
[TEX]= \frac{a^2^{2005}-b^2^{2005}}{a-b}[/TEX].