jet_nguyen ơi. Bạn làm sai rồi. Làm sao mà [TEX]\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n+1)n}[/TEX] được. Khi so sánh 2 phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn phân số còn lại mà. Ở đây [TEX]n(n+1)>n^2 [/TEX]nên [TEX]\frac{1}{n^2}>\frac{1}{(n+1)n} [/TEX]chứ.
Bài này mình sẽ giải như sau:
Với mọi n>1 thì ta có: [TEX]\frac{1}{n^2}=\frac{4}{4n^2}<\frac{4}{4n^2-1}=2 \big( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \big)[/TEX] (Bạn tự chứng minh)
Cho n lần lượt bằng 2, 3, 4,...,n, ta sẽ có
[TEX]\frac{1}{2^2}< 2 \big( \frac{1}{3}- \frac{1}{5} \big)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{3^2}< 2 \big( \frac{1}{5}- \frac{1}{7} \big)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{4^2}< 2 \big( \frac{1}{7}- \frac{1}{9} \big)[/TEX]
........................................................................................
[TEX]\frac{1}{n^2}< 2 \big( \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1} \big)[/TEX]
Suy ra [TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+ \frac{1}{n^2} < 2 \big( \frac{1}{3}- \frac{1}{5}+\frac{1}{5}- \frac{1}{7}+\frac{1}{7}- \frac{1}{9}+\frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1} \big) = 2 \big( \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1} \big)[/TEX]
mà[TEX] 2 \big( \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1} \big) = \frac{2}{3}-\frac{2}{2n+1} <\frac{2}{3}[/TEX] (Bạn tự chứng minh)
Do đó [TEX] \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+ \frac{1}{n^2} < 1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}[/TEX](đpcm)
______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn