đại số 8 BĐT-cực trị

[maianhquynh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó.
2, Cho abc=1 và [TEX]a^3 > 36[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{a^2}{3}+b^2+c^2 > ab+bc+ca[/TEX]
3, Tìm GTLN của :
[TEX]E= \frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}[/TEX]
với x, y >0
4, Cho [TEX]0\leq a,b,c \leq 1[/TEX]
a,CMR: [TEX]a^2+b^2+ c^2 \leq 1+a^b+b^2c+c^2a[/TEX]
b,CMR: [TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-ca \leq 1[/TEX]
5, Cho [TEX] 0 \leq a,b,c \leq2[/TEX] và a+b+c= 3
CMR:[TEX]a^2+b^2+c^2\leq 5[/TEX]

 

[chaudoublelift]

giải

1. đặt số đó là $\overline{abc}(a,b,c \in N, a\not=0, 0≤a,b,c≤9)$ Ta có:
$\dfrac{\overline{abc}}{a+b+c}=\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}≤\dfrac{100a+100b+100c}{a+b+c}=100$
Dấu "=" xảy ra khi $a\in {1,2,3,4,...,9}$ và $b=c=0$
2. $BDT⇔\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-a(b+c)-3bc>0$
$ ⇔\dfrac{a^2}{4}+(b+c)^2-a(b+c)-\dfrac{a^2}{12}-3bc>0$
$⇔(\dfrac{a}{2}-b-c)^2+\dfrac{a^3-36}{12a}>0$(BĐT luôn đúng)

 

[chaudoublelift]

buồn ngủ quá

5. $0≤a,b,c≤2⇒(2-a)(2-b)(2-c)≥0⇔8+2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)-abc≥0⇔2(ab+bc+ca)≥4(a+b+c)-8+abc$
$⇔2(ab+bc+ca)≥4+abc≥4$
Suy ra $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)≥4+a^2+b^2+c^2⇒a^2+b^2+c^2≤(a+b+c)^2-4=5(dpcm)$