[Đại số 8] Bài tập về tính chia hết của đa thức và một vài dạng khác ?

[gemini_16602]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Chứng minh rằng đa thức $x^{50}+x^{49}+x^{48}+...+x^{2}+x+1$ chia hết cho đa thức $x^{16}+x^{15}+x^{14}+...+x^{2}+x+1$
Bài 2 : Cho $x^2+x=1$. Tính giá trị của biểu thức $Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1$
Bài 3 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Cho n số nguyên dương (không nhất thiết khác nhau) trong đó có số 68. Trung bình cộng của n số đó là 56. Nếu bỏ số 68 đi thì TBC của n-1 số còn lại là 55.
a. Tìm n (câu này mình làm được rồi)
b. Số lớn nhất trong n số đó có thể là bao nhiêu ?
Bài 4 : Cho x, y là các số thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x+y=2a-1\\ x^2+y^2=2a^2+4a-11\end{matrix}\right.$
Xác định a để tích $x.y$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 : Cho a, b là hai số tùy ý, chứng minh rằng :
$4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2≥0$
Bài 6 : Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương.
Bài 7 : a) Cho $\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{5}{8}$. Tính giá trị của biểu thức :
$$\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}$$
b) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn đ/k : $x+y+z+xy+yz+xz=6$
Chứng minh rằng : $x^2+y^2+z^2≥3$
c) Chứng minh rằng : $2013^{2013}+2015^{2014}$ chia hết cho $2014$.
Bài 8 : a) Cho các số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau : $a^3-3a^2+5a-2011=0$ ; $b^3- b^2+5b+2005=0$. Hãy tính $a+b$
b) Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn: $a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a}$
Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì $a^2b^2c^2=1$

 

[iceghost]

$5)4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2 \\
= 4[a(a+b+1)][(a+b)(a+1)]+b^2 \\
= 4(a^2+ab+a)(a^2+ab+a+b)+b^2$
Đặt $c = a^2+ab+a$
pt $\iff 4c(c+b)+b^2 \\
= 4c^2+4cb+b^2 \\
= (2c+b)^2 \ge 0$

$6)$ Gọi số đó là $\overline{abcd}$
Theo đề bài ta có : $\left\{ \begin{array}{l} {}
\overline{abcd} =m^2 \\
\overline{(a+1)(b+3)(c+5)(d+3)} = n^2 \ (1)
\end{array} \right. \ \left( m,n \in N, \left\{ \begin{array}{l} {} 1353 < n^2 \le 9999 \\ 1000 \le m^2 \le 9999 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} {} 36 < n \le 99 \\ 31 < m \le 99 \end{array} \right. \right)$

$(1) \iff 1000a+100b+10c+d+1353 = n^2 \\
\iff \overline{abcd}+1353 = n^2 \\
\iff m^2 + 1353 = n^2 \\
\iff (n+m)(n-m) =1353 = 451.3 = 41.33 = 123.11$
Dễ thấy $n>m$
$\implies n+m > n-m > 0 \\
\implies \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
n+m = 451 \\
n-m = 3
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
n+m = 41\\
n-m = 33
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
n+m = 123\\
n-m = 11
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
m = 224 \\
n = 227
\end{array} \right. \textrm{(loại)}\\
\left\{ \begin{array}{l} {}
m = 4 \\
n = 37
\end{array} \right. \textrm{(loại)}\\
\left\{ \begin{array}{l} {}
m = 56 \\
n = 67
\end{array} \right. \textrm{(chọn)} \\
\end{array} \right. $
Vậy số $\overline{abcd} = 56^2 = 3136$
$7a) \dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{5}{8} \\
\iff 5x^2+5y^2 = 8xy$

$\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2} \\
= \dfrac{5x^2+5y^2 - 10xy}{5x^2+5y^2+10xy} \\
= \dfrac{8xy-10xy}{8xy+10xy} \\
= \dfrac{-2xy}{18xy} \\
=\dfrac{-1}9$$7a) \dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{5}{8} \\
\iff 5x^2+5y^2 = 8xy$

$\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2} \\
= \dfrac{5x^2+5y^2 - 10xy}{5x^2+5y^2+10xy} \\
= \dfrac{8xy-10xy}{8xy+10xy} \\
= \dfrac{-2xy}{18xy} \\
=\dfrac{-1}9$
Gộp bài!

 

[thaotran19]

Bài 1: mình nói qua cách làm thôi nha
$x^{50}+x^{49}+.....+x^2+1$
=$(x^{50}+....+x^{34})+(x^{33}+.....+x^{17})+(x^{16}+....x^2+1)$
$=(x^{34}+x^{17}+1)(x^{16}+x^{15}+x^2+1)$
=>dpcm

 

[minhmai2002]

2........

$Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1$

$=x^5(x+1)+x^4(x+1)+x^3(x+1)+x^2(x+1)+x(x+1)+(x+1)$

$=(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x+1)$

$=[x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)](x+1)$

$=(x^4+x^2+1)(x+1)^2$

$=(x^4+2x^2+1-x^2)(x+1)^2$

$=[(x^2+1)^2-x^2](x+1)^2$

$=(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x+1)^2$

Từ $x^2+x=1 \longleftrightarrow x^2=1-x ; x+1=\dfrac{1}{x}$

Thay vào $Q$ ta có:

$Q=2.2x^2.\dfrac{1}{x^2}=4$

 

[phamhuy20011801]

7b, Thấy $x^2+1+y^2+1+z^2+1 \ge 2x+2y+2z \leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3 \ge 2(x+y+z)$
Và $2(x^2+y^2+z^2) \ge 2(xy+yz+zx)$
Từ đó $3(x^2+y^2+z^2)+3 \ge 2(x+y+z+xy+yz+zx)= 12 \leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \ge 3$ (đpcm)

c, $2013^{2013}+2015^{2014}=(2013^{2013}+1)+(2015^{2014}-1) \vdots 2014$