Trường hợp b = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trường hợp b = 1 thì 2^b - 1 = 1 và 2^a + 1 luôn chia hết cho 1 với mọi a là số tự nhiên. Vậy bộ các số (m ; 1) thỏa mãn đề bài.
Trường hợp b >= 2. Khi đó ta có a = bk + r với 0 <= r < b (k,r là các số tự nhiên) và
2^a + 1 = 2^(bk + r) + 1 = [2^(bk + r) - 2^r] + (2^r + 1) = (2^r)[(2^b)^k - 1] + (2^r + 1) (1).
Để ý rằng (2^b)^k - 1 luôn chia hết cho 2^b - 1 (2). Từ (1) và (2) cho thấy, số 2^a + 1 chia hết cho 2^b - 1 khi 2^r + 1 chia hết cho 2^b - 1.
Lại vì b > r và b,r là các số tự nhiên nên b >= r + 1, hay b - 1 >= r . Suy ra 0 < 2^r + 1 <= 2^(b - 1) + 1 (*), và vì b >= 2 nên 2^(b - 1) + 1 <= 2.2^(b - 1) - 1 = 2^b - 1 (**). Suy ra 0 < 2^r + 1 <= 2^b - 1; điều này cho thấy 2^r + 1 chỉ chia hết cho 2^b - 1 khi 2^r + 1 = 2^b - 1, tức là cả (*) và (**) xảy ra dấu bằng, tức là b = 2 và r = 1. Suy ra a = 2k + 1 và b = 2 (với k là số tự nhiên).
Thành thử, trong trường hợp này ta tìm được bộ (2k + 1; 2) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
KL: Các bộ thỏa mãn đề bài là (m ; 1) và (2k + 1 ; 2) (m,k là các số tự nhiên).
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
