Toán 10 [Đại số 10]Bất đẳng thức Nhóm thảo luận-Starlove

[bboy114crew]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Topic thảo luận về đại số 10 của nhóm Star Love. Chỉ có các thành viên của nhóm mới được hoạt động trong pic này , các mem khác thông cảm nhé
Các bài tập được post lên yêu cầu đánh số thứ tự rõ ràng các cậu nhé =.=!
Trước hết ta sẽ nhắc lại một số bất đẳng thức thông dụng :
[TEX]\huge +[/TEX]Bất Đẳng thức Cauchy(AM-GM):
[TEX]\huge *[/TEX]với 2 biến : [TEX]\huge a+b \ge 2\sqrt{ab}[/TEX] với mọi [TEX]\huge a,b \ge 0[/TEX]


[TEX]\huge *[/TEX]với 3 biến : [TEX]\huge a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}[/TEX] với mọi [tex]\huge a,b,c \ge 0[/TEX]


[TEX]\huge *[/TEX]với n biến : [TEX]\huge a_1+a_2+...a_n \ge n\sqrt[n]{a_1a_2..a_n}[/TEX] với mọi [TEX]\huge a_1,a_2,...a_n \ge 0[/TEX]

*Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz(Bunhiacopski) :
[TEX]\huge *[/TEX]với mọi [TEX]\huge a,b,x,y (a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]với mọi [TEX]\huge a,b,c,x,y,z (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2 [/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]và tổng quát với 2 bộ số bất kì [TEX]\huge (a_1,a_2...a_n) ; (b_1,b_2,...b_n)[/TEX] thì

[TEX]\huge (a_1^2+a_2^2+...a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...b_n^2) \ge(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)^2[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]dạng mở rộng :

[TEX]\huge \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...\frac{a_n^2}{b_n} \ge\frac{(a_1+a_2+...a_n)^2}{b_1+b_2+...b_n}[/TEX]

Bất đẳng thức Chebyshev:
[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b ; x \ge y[/TEX] thì:[TEX]\huge (a+b)(x+y) \le 2(ax+by)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b \ge c[/TEX] và [TEX]\huge x \ge y \ge z [/TEX]thì [TEX]\huge (a+b+c)(x+y+z) \le 3(ax+by+xz)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]dạng tổng quát : với mọi [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \le n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]


[TEX]\huge *[/TEX]nếu là 2 dãy ngược chiều [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\le b_2\le ...\le b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge *[/TEX][TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \ge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]


Một số hằng bất đẳng thức :
[TEX]\huge *[/TEX](i)[TEX]\huge \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX](ii)[TEX]\huge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX](iii)[TEX]\huge a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2 \ge ab+bc+ac[/TEX]

với [TEX]\huge a,b,c[/TEX] là các số dương


Mở rộng thêm :
Bất đẳng thức MinCopxki :
[TEX]\huge *[/TEX]với mọi [TEX] \huge a,b,x,y,z[/TEX] thì
[TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}[/TEX]

[TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]Dạng tổng quát với mọi [TEX]\huge a_1,a_2...a_n;b_1,b_2...b_n[/TEX] thì :

[TEX]\huge \sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+..\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ge \sqrt{(a_1+a_2+...a_n)^2+(b_1+b_2+...b_n)^2[/TEX]

Chứng minh nó khá dễ vì nó chính là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwar

Các bất đẳng thức trên đều dễ chứng minh,xin dành cho các bạn.Tuy có dạng tổng quát nhưng đối với học sinh trung học cơ sở thì chỉ được sử dụng 2 bất đẳng thức này với 2 biến(am-gm) hay 2 bộ số (Bunhiacopski) .Nếu các bạn muốn sử dụngvới nhiều biến hơn thì khi đi thi phải chứng minh các bất đẳng thức này.​

Bắt đầu với những bài đầu tiên nhé


Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{ab}{{c}^{2}}+\frac{bc}{{a}^{2}}+\frac{ca}{{b}^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})[/TEX]
Bài 2:Với a,b,c không âm thoả mãn [tex]a+b>0, b+c>0, c+a>0[/tex] ta có:

[tex]\frac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} + \frac{b^2}{(2b+c)(2b+a)} + \frac{c^2}{(2c+a)(2c+b)} \le \frac{1}{3}[/tex].

 

[bboy114crew]

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{ab}{{c}^{2}}+\frac{bc}{{a}^{2}}+\frac{ca}{{b}^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})[/TEX]
Bài 2:Với a,b,c không âm thoả mãn [tex]a+b>0, b+c>0, c+a>0[/tex] ta có:

[tex]\frac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} + \frac{b^2}{(2b+c)(2b+a)} + \frac{c^2}{(2c+a)(2c+b)} \le \frac{1}{3}[/tex].

Theo yêu cầu của bạn hocmaith mình xin post lời giải cho bài 1:
Cách 1:
Bung hết ra ta được BĐT tương đương với:

[TEX]2[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\ge \sum (ab)^2(ac+bc)[/TEX]​

Đặt [TEX]ab=x,bc=y,ca=z[/TEX] thì cần cm:

[TEX]2(x^3+y^3+z^3)\ge \sum x^2(y+z)=\sum xy(x+y)[/TEX]
​

Áp dụng [TEX]m^3+n^3\ge mn(m+n)[/TEX] có:

[TEX]x^3+y^3\ge xy(x+y)[/TEX]
​

Tương tự với 2 bt còn lại cộng theo vế suy ra dpcm.
Cách 2:

[tex] BDT \Leftright \sum\frac{a(b+c)(b-c)^2}{b^2c^2} \ge 0 [/tex]
Luôn đúng do [tex]a;b;c >0 [/tex]

 

[hocmaitlh]

mình góp vui mấy bài nha"
bài 3 : cho x;y;z là các số dương thoả mãn x.y.z=1
cmr; [TEX]\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq\frac{3}{8}[/TEX]
bài 4 ;cho a; b;c là các số dương thoả mãn a.b.c=9 cmr: [TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq\frac{3}{1+\sqrt[3]{9}}[/TEX]
bài 5 (bài này mình ko làm đk)
cho a,b,c là 3 số thực thoả mãn a+b+c=3
cmr :[TEX] \frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab}\geq\frac{3}{2}[/TEX]

 

[hocmaitlh]

mình góp vui mấy bài nha"
bài 3 : cho x;y;z là các số dương thoả mãn x.y.z=1
cmr; [TEX]\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq\frac{3}{8}[/TEX]
bài 4 ;cho a; b;c là các số dương thoả mãn a.b.c=9 cmr: [TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq\frac{3}{1+\sqrt[3]{9}}[/TEX]
bài 5 (bài này mình ko làm đk)
cho a,b,c là 3 số thực thoả mãn a+b+c=3
cmr :[TEX] \frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab}\geq\frac{3}{2}[/TEX]

bài 3
cộng thêm 2 lần [TEX] \frac{1}{8}[/TEX] vào từng số hạng ở vế trái

sau đó sử dụng AM-GM cho 3 số

cuối cùng là sử dụng : [TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt[]{ab}}[/TEX]
thế là ok