đại khó c/m bất đẳng thức

[uyenphuong8athd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c,d>0 c/m nếu $\dfrac{a}{b}$<1 thì$\dfrac{a}{b}$<$\dfrac{a+c}{b+c}$(1)
áp dụng c/m

a) 1<$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$<2
b) 1<$\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+b+a}$<2
c)2<$\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{b+c+d}+\dfrac{c+d}{c+d+a}+\dfrac{d+a}{d+a+b}$<3

Chú ý gõ latex

 

[nhokdangyeu01]

Ta có
\frac{a}{b}< $\frac{a+c}{b+c}$
\Leftrightarrow $a(b+c)$ < $b(a+c)$
\Leftrightarrow $ab+ac$ < $ab+bc$
\Leftrightarrow $ac$ < $bc$
\Leftrightarrow a<b (đúng)
\Rightarrow đpcm

 

[hoamattroi_3520725127]

Câu c tạm thời mình chưa nghĩ ra, nếu mình ra hướng làm, mình sẽ làm lại cho bạn sau nhé!

a) $1 < \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{b + c} + \dfrac{c}{c + a} < 2$

Ta có : $\dfrac{a}{a + b + c} < \dfrac{a}{a + b} < \dfrac{a + c}{a + b + c}$

(vì a + b + c > a + b; a < a + b với mọi a,b,c > 0)

Tương tự có : $\dfrac{b}{a + b + c} < \dfrac{b}{b + c} < \dfrac{a + b}{a + b + c}$

$\dfrac{c}{a + b + c} < \dfrac{c}{c + a} < \dfrac{c + b}{a + b + c}$

Cộng theo vế 3 bđt trên được đpcm

b) $1 < \dfrac{a}{a + b + c} + \dfrac{b}{b + c + d} + \dfrac{c}{c + d + a} + \dfrac{d}{d + a + b} < 2$

Có : $\dfrac{a}{a + b + c + d} < \dfrac{a}{a + b + c} < \dfrac{a + d}{a + b + c + d}$

$\dfrac{b}{a + b + c + d} < \dfrac{b}{b + c + d} < \dfrac{b + a}{a + b + c + d}$

$\dfrac{c}{a + b + c + d} < \dfrac{c}{c + d + a} < \dfrac{c + b}{a + b + c + d}$

$\dfrac{d}{a + b + c + d} < \dfrac{d}{a + b + d} < \dfrac{d + c}{a + b + c + d}$

Cộng theo vế 4 bđt trên ta có đpcm

 

[congchuaanhsang]

c, Đặt biểu thức là A

Dễ thấy mỗi số hạng của A đều dương bé hơn 1

A>$\dfrac{a+b}{a+b+c+d} + \dfrac{b+c}{a+b+c+d} + \dfrac{c+d}{a+b+c+d} + \dfrac{d+a}{a+b+c+d}$

\LeftrightarrowA>$\dfrac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$=2 (1)

A<$\dfrac{a+b+c}{a+b+c+d} + \dfrac{b+c+a}{a+b+c+d} + \dfrac{c+d+b}{a+b+c+d} + \dfrac{d+a+c}{a+b+c+d}$

\LeftrightarrowA<$\dfrac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$ (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm