[Đại] Chứng minh bất đẳng thức

[pl09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y,z$ thỏa mãn: $xyz=1$.
Chứng minh rằng : $\frac{x}{x^2+2}$+$\frac{y}{y^2+2}$+$\frac{z}{z^2+2} \le 1$

 

[viethoang1999]

Do $xyz=1$ nên
Đặt $(x;y;z)=(\dfrac{a}{b};\dfrac{b}{c};\dfrac{c}{a})$
BDT\Leftrightarrow $\sum \dfrac{ab}{a^2+2b^2}\le 1$
Ta có:
$P=\sum \dfrac{ab}{a^2+2b^2}\le \sum \dfrac{ab}{2ab+b^2}=\sum \dfrac{a}{2a+b}$
$=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{b}{2a+b}$
Lại có:
$\dfrac{b}{2a+b}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$
Vậy $P\le \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$