[đại] cần gấp

[phuonganh7a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho $a,b,c \in [0 ; 2 ] $ có $a + b + c = 3$
CMR : $a^2 + b^2 + c^2 \le 5 $
p/s : cần gấp lắm ///

 

[thien0526]

Từ GT [TEX]a,b,c \in [0;2][/TEX], ta có:

[TEX]abc \geq 0[/TEX], [TEX](2-a)(2-b)(2-c) \geq 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]8+2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)-abc \geq 0 [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]2(ab+bc+ca) \geq 4+abc[/TEX]

\Rightarrow [TEX](a+b+c)^2 \geq 4+a^2+b^2+c^2[/TEX]

\Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 5[/TEX] (đpcm)

 

[phuonganh7a]

Từ GT [TEX]a,b,c \in [0;2][/TEX], ta có:

[TEX]abc \geq 0[/TEX], [TEX](2-a)(2-b)(2-c) \geq 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]8+2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)-abc \geq 0 [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]2(ab+bc+ca) \geq 4+abc[/TEX]

\Rightarrow [TEX](a+b+c)^2 \geq 4+a^2+b^2+c^2[/TEX](1)

\Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 5[/TEX] (đpcm)(2)

sao từ (1) lại ra (2) được? bạn ơi

 

[thien0526]

[TEX](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)[/TEX]

Hằng đẳng thức đấy!

 

[phuonganh7a]

nếu vậy thì sao không làm thế này hơn:
\Leftrightarrow [TEX]2(ab+bc+ca) \geq 4+abc \geq 4[/TEX]
Mà a+b+c=3 \Rightarrow [TEX](a+b+c)^2=9[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 5[/TEX] (đpcm)
(trừ hai vế bất đẳng thức ngược chiều)

 

[thien0526]

nếu vậy thì sao không làm thế này hơn:
\Leftrightarrow [TEX]2(ab+bc+ca) \geq 4+abc \geq 4[/TEX]
Mà a+b+c=3 \Rightarrow [TEX](a+b+c)^2=9[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 5[/TEX] (đpcm)
(trừ hai vế bất đẳng thức ngược chiều)

Hì, làm cách nào cũng được, miễn là tự mình hiểu là ok rồi.

 

[phuonganh7a]

mà $a,b,c\in[0;2]$ có nghĩa là $0\le a,b,c \le 2$ sao bạn.
///

 

[thien0526]

[TEX]a,b,c \in [0;2][/TEX]: a, b, c thuộc đoạn 0; 2: [TEX]0 \leq a, b, c \leq 2[/TEX]
__________________________________