[Đại 9]Chứng minh rằng

[torresss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho a,b,c là các số dương.
Chứng minh rằng $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2$\geq(a+b+c)($\dfrac{1}{a}$+$\dfrac{1}{b}$+$\dfrac{1}{c}$)
bài 2:Cho biểu thức P=$a^2$+$b^2$+$c^2$+$d^2$+ac+bd,trong đó ad-bc=1.Chứng minh rằng >$\sqrt{3}$

 

[hien_vuthithanh]

bài 2:Cho biểu thức P=$a^2$+$b^2$+$c^2$+$d^2$+ac+bd,trong đó ad-bc=1.Chứng minh rằng >$\sqrt{3}$

Có :$ (ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

Mà $ad-bc=1 \rightarrow 1+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$

$\rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd \ge 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} +ac+bd$

$\rightarrow BDT \leftrightarrow 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+ac+bd \ge \sqrt{3} $

$\leftrightarrow 2\sqrt{1+(ac+bd)^2}+ac+bd \ge \sqrt{3} $

Đặt $x=ac+bd \rightarrow p= 2\sqrt{1+x^2}+x$

Vì $|x| =\sqrt{x^2}< 2\sqrt{1+x^2}$ ,mà $|x| \ge -x \rightarrow p >0$

$\rightarrow p^2 =4(1+x^2)+4x\sqrt{1+x^2}+x^2=(1+x^2)+4x\sqrt{1+x^2}+4x^2+3 = (\sqrt{1+x^2}+2x)^2+3 \ge 3$

$\rightarrow p \ge \sqrt{3}\rightarrow S \ge \sqrt{3}$

 

[transformers123]

Bài 1:

Bắt đầu từ hai bđt sau:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}} =3$

$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}.\dfrac{c}{b}.\dfrac{a}{c}} =3$

Ta có:

$(1+1+1)(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}) \ge (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2$

$\iff \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2}{3}$

$\iff \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}}$

$\iff \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

Từ những bđt trên, ta có:

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+3$

$\iff \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{b}+\dfrac{2a}{c} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+3+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

$\iff (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2 \ge (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 1:Cho a,b,c là các số dương.
Chứng minh rằng $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2$\geq(a+b+c)($\dfrac{1}{a}$+$\dfrac{1}{b}$+$\dfrac{1}{c}$)

Cách khác :

$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2\ge(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+2(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b})\ge 3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}$

$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\ge 3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

Đặt $\bigl(\begin{smallmatrix} & \dfrac{a}{b} ; \dfrac{b}{c} ;\dfrac{c}{a}& \\ \end{smallmatrix}\bigr) =(x;y;z)$

$\rightarrow BDT \leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge 3+x+y+z$

Có : $x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3} ;\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{9}{x+y+z}$

Đặt $ x+y+z=t (t>0)\rightarrow $Cần c/m $ \dfrac{1}{3}t^2+\dfrac{9}{t}\ge 3+t$

$\leftrightarrow t^3-3t^2-9t+27\ge 0$

$\leftrightarrow (t+3)(t-3)^2 \ge 0$ (ld do $t>0)$