1,tìm đa thức f(x)với hệ số nguyên t/m điều kiện
16f(x^2)=[f(2x)]^2(1) với x thuộc Q
Bài này hay đấy nhưng mà mình được học rồi
Giả sử [TEX]f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0[/TEX]
Ta có
[TEX]f(x^2)=a_nx^{2n}+a_{n-1}x^{2n-2}+...+a_1x^2+a_0[/TEX]
[TEX]f(2x)=a_n2^nx^n+a_{n-1}2^{n-1}x^{n-1}+...+a_12x+a_0[/TEX]
[TEX]16f(x^2)=[f(2x)]^2[/TEX]
[TEX]16(a_nx^{2n}+a_{n-1}x^{2n-2}+...+a_1x^2+a_0)=(a_n2^nx^n+a_{n-1}2^{n-1}x^{n-1}+...+a_12x+a_0)^2[/TEX]
Đồng nhất hệ số:
[TEX]\Rightarrow 16a_n=a_n^24^n[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a_n=\frac{16}{4^n}[/TEX]
Vì [TEX]f(x)\in Z \Rightarrow a_n \in Z \Rightarrow 4^n \in[/TEX] Ư(16)
[TEX]\Rightarrow 4^n \in [/TEX]{1;4;16}[TEX][/TEX]
[TEX]\Rightarrow n \in [/TEX]{0;1;2}
với n=0
[TEX]\Rightarrow a_0=16[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(x)=16[/TEX]
Với n=1
[TEX] \Rightarrow a_1=4[/TEX]
[TEX] \Rightarrow f(x)=4x +a_0[/TEX]
Từ (1)[TEX]\Rightarrow 16(4x^2+a_0)=(8x+a_0)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 64x^2+16a_0=64x^2+16xa_0+a_0^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 16a_0=0 [/TEX]
và [TEX] 16a_0=a_0^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(x)=4x[/TEX]
Với n=2 [TEX]\Rightarrow a_2=1 \Rightarrow f(x)=x^2 +xa_1+a_0[/TEX]
Từ (1) [TEX]\Rightarrow 16(x^4+x^2a_1+a_0)=(4x^2+2a_1x+a_0)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a_1=0[/TEX]
và [TEX] a_0=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(x)=x^2[/TEX]
Vậy [TEX] f(x)=16[/TEX]
hoặc [TEX]f(x)=4x[/TEX]
hoặc [TEX]f(x)=x^2[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn