[Đại 8] Nâng cao

[tiasangmangtenss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 3 số hữu tỉ a,b,c có abc=1 , $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}$
Chứng minh: Trong 3 số a,b,c phải có 1 số bằng bình phương 1 số khác

P/s: Có thể đề sai. Mong mn thông cảm và sửa giùm (yêu cầu nặng qué :v)

 

[manhnguyen0164]

Mình nghĩ đề là $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}= \dfrac{a}{c^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{b^2}$, không biết có đúng không nhưng mình nghĩ là vậy, sai xin đừng gạch đá ==' hoặc từ cách này bạn có thể tìm được cách làm cho bài.

Ta có: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}= \dfrac{a}{c^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{b^2}$

$\iff a^3c+ab^3+bc^3=a^3b^2+a^2c^3+b^3c^2$

$\iff a^3c+ab^3+bc^3-a^3b^2-a^2c^3-b^3c^2=0$

$\iff a^2b^2c^2-a^3b^2-a^2c^3+a^3c-b^3c^2+ab^3+bc^3-abc=0$

$\iff (a^2b^2-a^2c-b^3+bc)(c^2-a)=0$

$\iff (a^2-b)(b^2-c)(c^2-a)=0$ (đpcm)

 

[trinhminh18]

Mình nghĩ đề là $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}= \dfrac{a}{c^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{b^2}$, không biết có đúng không nhưng mình nghĩ là vậy, sai xin đừng gạch đá ==' hoặc từ cách này bạn có thể tìm được cách làm cho bài.

Ta có: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}= \dfrac{a}{c^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{b^2}$

$\iff a^3c+ab^3+bc^3=a^3b^2+a^2c^3+b^3c^2$

$\iff a^3c+ab^3+bc^3-a^3b^2-a^2c^3-b^3c^2=0$

$\iff a^2b^2c^2-a^3b^2-a^2c^3+a^3c-b^3c^2+ab^3+bc^3-abc=0$

$\iff (a^2b^2-a^2c-b^3+bc)(c^2-a)=0$

$\iff (a^2-b)(b^2-c)(c^2-a)=0$ (đpcm)

Để đề như cũ thì vẫn đúng nhé; ta làm như sau :
$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}$
Quy đồng khử mẫu ta đc:
$a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2=b^3c+c^3a+a^3b$
\Leftrightarrow$a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2-b^3c-c^3a-a^3b=0$
\Leftrightarrow$a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2-b^3c-c^3a-a^3b-a^2b^2c^2+abc=0$
\Leftrightarrow$ac^2(a^2-c)+b^3(a^2-c)-c^2b^2(a^2-c)-ab(a^2-c)=0$
\Leftrightarrow$(a^2-c)(ac^2+b^3-c^2b^2-ab)=0$
\Leftrightarrow$(a^2-c)(a-b^2)(c^2-b)=0$
Đến đây dễ r nhỉ