[Đại 8 nâng cao] Cho em hỏi bài này với :Cho x,y,z>0.

[xinmotuocmo2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng
[tex]\frac{x^5}{yz^2}[/tex] + [tex]\frac{y^5}{zx^2}[/tex] + [tex]\frac{z^5}{xy^2}[/tex] \geq $x^{2}$ + $y^{2}$ +$z^{2}$
Nhanh nhanh tý nha. E cảm ơn trc ak.

 

[transformers123]

Ta có: $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$

$\iff \dfrac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \ge 0$ (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\dfrac{x^5}{yz^2}+xy+z^2 \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{x^5}{yz^2}.xy.z^2}$

$\iff \dfrac{x^5}{yz^2}+xy+z^2 \ge 3x^2$

$\iff \dfrac{x^5}{yz^2} \ge 3x^2-z^2-xy$

Làm tương tự rồi cộng lại, ta có:

$\dfrac{x^5}{yz^2}+\dfrac{y^5}{zx^2}+\dfrac{z^5}{xy^2} \ge 3(x^2+y^2+z^2)-
(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)$

$\iff \dfrac{x^5}{yz^2}+\dfrac{y^5}{zx^2}+\dfrac{z^5}{xy^2} \ge 2(x^2+y^2+z^2)-
(xy+yz+zx)$

$\iff \dfrac{x^5}{yz^2}+\dfrac{y^5}{zx^2}+\dfrac{z^5}{xy^2} \ge 2(x^2+y^2+z^2)-
(x^2+y^2+z^2)$

$\iff \dfrac{x^5}{yz^2}+\dfrac{y^5}{zx^2}+\dfrac{z^5}{xy^2} \ge x^2+y^2+z^2$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z > 0$