[Đại 8] Một số bài toán khó :((

[gemini_16602]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Cho a, b > 0; $a+b≤1$, Chứng minh rằng $\dfrac{1}{ab}$ + $\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}$≥6
Bài 2 : Cho M = $2x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y-3$
Tính giá trị của M biết $xy=1$ và |x+y| đạt giá trị nhỏ nhất.

 

[iceghost]

$\dfrac1{ab}+\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}
= \left(\dfrac1{2ab}+\dfrac1{a^2+b^2}\right)+\dfrac1{2ab}
\ge \dfrac4{(a+b)^2}+\dfrac1{\dfrac{(a+b)^2}2}
= \dfrac41+\dfrac1{\dfrac12}
= 6$

 

[gemini_16602]

$\dfrac1{ab}+\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}
= \left(\dfrac1{2ab}+\dfrac1{a^2+b^2}\right)+\dfrac1{2ab}
\ge \dfrac4{(a+b)^2}+\dfrac1{\dfrac{(a+b)^2}2}
= \dfrac41+\dfrac1{\dfrac12}
= 6$

Bạn iceghost ơi ! Bạn có thể giảng rõ cho mình tại sao lại chuyển phần màu đó thành như vậy được không ? Cảm ơn bạn nhiều !

 

[iceghost]

dễ thấy $(a-b)^2 \ge 0$
$\iff (a+b)^2 - 4ab \ge 0 \\
\iff 4ab \le (a+b)^2 \\
\iff 2ab \le \dfrac{(a+b)^2}2 \\
\iff \dfrac1{2ab} \ge \dfrac1{\dfrac{(a+b)^2}2}$