[Đại 8 khó] Phân tích thành nhân tử (Nhiều dạng)

[maloimi456]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: (x+y)(y+z)(z+x) = 8xyz
CMR: x = y = z

2: Cho x>y>z. CMR:
[LATEX]A = x^4(y-z) y^4(z-x) + x^4(x-y) > 0[/LATEX]

 

[hieu09062002]

Bài 1

1: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: (x+y)(y+z)(z+x) = 8xyz
CMR: x = y = z

2: Cho x>y>z. CMR:
[LATEX]A = x^4(y-z) y^4(z-x) + x^4(x-y) > 0[/LATEX]

Bài 1:
. x^4(y-z)+y^4(z-x)+z^4(x-y)
= x^4y-x^4z+y^4z-y^4x+z^4(x-y)
= xy(x^3-y^3)+z(x^4-y^4)+z^4(x-y)
= xy(x^2+xy+y^2)(x-y)+z(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3)+z^4(x-y)
= (x-y)(x^3y+x^2y^2+xy^3-zx^3-x^2yz-xy^2z-zy^3+z^4)
= (x-y)[(x^3y-x^2yz)+(x^2y^2-xy^2z)+(xy^3-zy^3)-(zx^3-z^4)]
= (x-y)[x^2y(x-z)+xy^2(x-z)+y^3(x-z)-z(x^3-z^3)]
= (x-y)(x-z)(x^2y+xy^2+y^3-zx^2-zxy-zy^2)
= (x-y)(x-z)[(x^2y-zx^2)+(xy^2-xyz)+(y^3-zy^2)]
= (x-y)(x-z)[x^2(y-z)+xy(y-z)+y^2(y-z)]
= (x-y)(x-z)(y-z)(x^2+xy+y^2)>0

 

[phamhuy20011801]

Với các số dương $x,y,z$ ta luôn có:
$(x+y)^2 \ge 4xy$ (dễ dàng chứng minh nhờ biến đổi tương đương)
$(y+z)^2 \ge 4yz$
$(z+x)^2 \ge 4zx$
Nhân theo vế: $(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2 \ge 64x^2y^2z^2$
$\leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$
Dấu "=" xảy ra $\iff x=y=z$