[Đại 8] Chứng minh

[tinaphan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng: $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ \geq $(ax + by)^2$ với mọi giá trị của biến số

 

[windysnow]

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ \geq $(ax + by)^2$

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ - $(ax + by)^2$ \geq 0

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2 - a^2x^2 - 2abxy - b^2y^2$ \geq 0

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2$ \geq 0

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(ay - bx)^2$ \geq 0 (luôn đúng)

 

[chaudoublelift]

sai rồi

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ \geq $(ax + by)^2$

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ - $(ax + by)^2$ \geq 0

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2 - a^2x^2 - 2abxy - b^2y^2$ \geq 0

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2$ \geq 0

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $(ay + bx)^2$ \geq 0 (luôn đúng)

Lẽ ra phải là $(ay - bx)^2$ \geq 0 chứ. Sai rồi. .......................................

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $a'=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, b'=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, x'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ và $y'=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, bất đẳng thức trở thành:
$(a'x'+b'y')^2\le 1$ và chú ý là $a'^2+b'^2=x'^2+y'^2=1$
$|a'x'|\le \dfrac{a'^2+x'^2}{2}$ và $|b'y'|\le \dfrac{b'^2+y'^2}{2}$ theo AM-GM.
Do đó $1\ge |a'x'|+|b'y'|\ge |a'x'+b'y'|\ge (a'x'+b'y')^2$

 

[thanghasonlam]

em có cách này dùng cô si
Có (bx)^2+(ay)^2 \geq 2abxy(cô si hai số)
suy ra (a^2+b^2)(x^2+y^2) \geq (ax+by)^2(cộng hai vế với (ax)^2+(by)^2)
Dấu bằng khi bx=ay