Đại 8.Căn thức.

[heaven_dreamlike_140995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a.b.c>0 và a+b+c = 1 CMR
căn (a+b) + căn (b+c) + căn (c+a) nhỏ hơn hoặc bằng căn 6

 

[tuananh8]

cho a.b.c>0 và a+b+c = 1 CMR
căn (a+b) + căn (b+c) + căn (c+a) nhỏ hơn hoặc bằng căn 6

Ta có:

[TEX]\frac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \geq 0[/TEX] hay [TEX]x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \geq 0[/TEX] hay

[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2) \geq x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)[/TEX]

Áp dụng BĐT trên ta được:

[TEX](\sqrt[]{a+b}+\sqrt {b+c}+\sqrt{c+a})^2 \leq 3(a+b+b+c+c+a)= 6[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sqrt[]{a+b}+\sqrt {b+c}+\sqrt{c+a} \leq \; \sqrt[]{6}[/TEX] đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]