[ Đại 8 ] Bt vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử

[huyyb98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . CM : $a^2b + b^2c + c^2a + ca^2 + bc^2 + ab^2 - a^3 - b^3 - c^3 > 0$

Bài 2 : Tìm giá trị (x;y) sao cho
P = $x^3 + y^3 + xy$ đạt GTNN biết x + y = 1

Bài 3 :
a, CM rằng: Nếu $( a + b + c )^2 = 3(ab + ac + bc)$ thì a=b=c
b, Số có dạng $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n$ chia hết cho 24

Bài 4 :
Tìm các số a,b,c để đa thức f(x) = $x^4 +ax^3 + bx^2 - 8x + 4$ là bình phương đúng của đa thức g(x) = $x^2 + cx + d$

Bài 5 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình
a, $y^3 - x^3 = 91$
b, $x^3 - y^3 = 3xy + 1$

Các siêu toán giúp mình với nhé, cảm ơn các bạn nhiều lắm :khi (15)::khi (15)::khi (15):

 

[hthtb22]

Bài 3:
[tex](a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)[/tex]
\Leftrightarrow [tex]a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)[/tex]
\Leftrightarrow [tex]a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=0[/tex]
\Leftrightarrow [tex]2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0[/tex]
\Leftrightarrow [tex](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0[/tex] (1)
Thấy [tex](a-b)^2 \geq 0[/tex] với \forall a,b
[tex](b-c)^2 \geq 0[/tex] với \forall b,c
[tex](c-a)^2 \geq 0[/tex] với \forall c,a
\Rightarrow [tex](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0[/tex]
Nên (1) \Leftrightarrow [tex](a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0[/tex]
\Leftrightarrow [tex]a=b=c[/tex]
b.
[tex] n^4+6n^3+11n^2+6n[/tex]
=[tex] n(n^3+6n^2+11n+6)[/tex]
=[tex]n(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6)[/tex]
=[tex]n(n+1)(n^2+5n+6)[/tex]
=[tex]n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex]
Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp
\Rightarrow Tích chia hết cho 8
Mà tích chia hết cho 3
(3;8)=1
\Rightarrow Tích chia hết cho 24


Bài 2:
[tex]P=x^3+y^3+xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy[/tex]
[tex]P=x^2-xy+y^2+xy[/tex](do x+y=1)
[tex]P=x^2+y^2[/tex]
[tex]2P=2(x^2+y^2)[/tex]
[tex]2P=(x^2+y^2+2xy)+(x^2+y^2-2xy)[/tex]
[tex]2P=(x+y)^2+(x-y)^2[/tex]
[tex]2P=1+(x-y)^2\geq1[/tex]
\Rightarrow [tex]P \geq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow[tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]/


Bài 4:
Dùng đồng nhất đa thức
Ta có
[tex](g_{(x)})^2=(x^2+cx+d)^2=x^4+2cx^3+(c^2+2d)x^2+2cdx+d^2[/tex]
Mà [tex]f_{(x)}=x^4+a.x^3+bx^2-8x+4[/tex]
Đồng nhất
\Rightarrow [tex]d^2=4;2cd=-8;b=c^2+2d;a=2c[/tex]
Giải ra kết quả
1) a=-4 ; b=8 ; c=-2;d=2
2) a=4 ; b=0; c=2;d=-2


Bài 5:Gợi ý
a.
[tex]y^3-x^3=91[/tex]
\Leftrightarrow [tex](y-x)(x^2+y^2+xy)=91[/tex]
Ta có [tex]x^2+y^2+xy=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4} \geq 0[/tex]
Và x, y là các số nguyên
Ta xét ước(4 TH)
(Chú ý : 91=7.13)
b. Phải đi hỏi cố giáo sư đã

 

[coganghoctapthatgioi]

1, ta có: [TEX]a^2.b+a^2.c+b^2.a+b^2.c+c^2.a+c^2.b-a^3-b^3-c^3[/TEX]

=[TEX]a^2.(b+c-a)+b^2.(c+a-b)+c^2.(a+b-c)[/TEX]

Do a+b-c>0,b+c-a>0, c+a-b>0 ( a,b,c là cạnh của tam giác)

nên [TEX]a^2.(b+c-a)+b^2.(c+a-b)+c^2.(a+b-c)[/TEX] >0

\Rightarrow [TEX]a^2.b+a^2.c+b^2.a+b^2.c+c^2.a+c^2.b-a^3-b^3-c^3[/TEX] >0

Ta có:[TEX] x^3+y^3+xy[/TEX]
=[TEX](x+y)(x^2-xy+y^2)+xy[/TEX]
=[TEX]x^2+y^2[/TEX]
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:
[TEX] (a+b)^2[/TEX] \leq [TEX](1+1)(a^2+b^2)[/TEX]
\Rightarrow 1 \leq [TEX]2(a^2+b^2)[/TEX]
\Rightarrow 0,5 \leq [TEX]a^2+b^2[/TEX]
Nên [TEX]x^3+y^3+xy[/TEX] \geq 0,5
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=0,5