[Đại 8] Bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh
$$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca $$

Nhiều cách nhé!

 

[phamhuy20011801]

Chứng minh: $\dfrac{a^3}{b} \ge a^2+ab-b^2$ bằng cách xét hiệu.( BĐT tương đương $\dfrac{(a-b)^2(a+b)}{b} \ge 0$, luôn đúng)
Tương tự $\dfrac{b^3}{c} \ge b^2+bc-c^2$
$\dfrac{c^3}{a} \ge c^2+ac-a^2$
Cộng theo vế ta có đpcm.

 

[transformers123]

Cách 1: Theo bđt Schwarz, ta có:

$\sum \dfrac{a^3}{b}= \sum \dfrac{a^4}{ab} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} = ab+bc+ca$

Cách 2: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$ab+\dfrac{a^3}{b} \ge 2a^2$

Cmtt rồi cộng lại, ta có:

$\sum \dfrac{a^3}{b}+ab+bc+ca \ge 2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(ab+bc+ca)$

$\iff \sum \dfrac{a^3}{b} \ge ab+bc+ca$