[Đại 8] Bất Đẳng Thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
$$\dfrac{(a+b)^2}{ab}+\dfrac{(b+c)^2}{bc}+\dfrac{(c+a)^2}{ca} \ge 9+2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bất đẳng thức tương đương với:
$$2\sum_{sym} \dfrac{a}{b} \ge 6+ 4 \sum_{cyclic} \dfrac{a}{b+c}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$4\sum_{cyclic} \dfrac{a}{b+c} \le \sum_{sym} \dfrac{a}{b}$$
Vì vậy ta cần chứng minh:
$$\sum_{sym} \dfrac{a}{b} \ge 6$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo AM-GM 6 số.