[Đại 10] Bất đẳng thức

[pl09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=3.
Chứng minh rằng:
$\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ac}} \ge 3$

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}} +\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ac}} \ge 3\sqrt[6]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}}$
Ta có $\prod [(b+ca)(c+ab)]\le \prod \dfrac{(b+c+ab+ac)^2}{4}=\prod \dfrac{(a+1)^2(b+c)^2}{4}=\dfrac{[(a+1)(b+1)(c+1)(a+b)(b+c)(c+a)]^2}{64}$
Do đó $(a+bc)(b+ca)(c+ab)\le \dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)(a+b)(b+c)(c+a)}{8}$
Ta cần chứng minh $(a+1)(b+1)(c+1)\le 8$ luôn đúng theo AM-GM.