[Đại 10] Bất đẳng thức

[pl09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y,z \in Z thỏa mãn: x+y+z=3$ . Tìm min:
$P=\frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+xz}$

 

[huynhbachkhoa23]

Ta sẽ chứng minh: $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\ge xy+yz+zx$
Áp dụng bất đẳng thức Holder:
$\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)^3(x+y+z)^5\ge \left(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{y^3}+\sqrt[4]{z^3}\right)^8$
Tiếp theo ta chứng minh: $\left(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{y^3}+\sqrt[4]{z^3}\right)^8\ge 3^5(xy+yz+zx)^3$
Chuẩn hóa $\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{y^3}+\sqrt[4]{z^3}=3$ thì ta đưa về chứng minh $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\le 3$ với $a^3+b^3+c^3=3$ trong đó $(a,b,c):=\left(\sqrt[4]{x},\sqrt[4]{y},\sqrt[4]{z}\right)$ và đây là một bài toán quen thuộc trong Algebraic Inequality.
Tiếp theo đơn giản.