[Đại 10] Bất đẳng thức

[pl09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương $x$,$y$,$z$ thỏa mãn : $xyz$=1. Chứng minh rằng:$\sum$ $\frac {1}{\sqrt{x^2+1}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}} $

 

[eye_smile]

Xem lại đề nhé bạn.

Dễ thấy BĐT sai với a=b=c=1

 

[pl09]

Xem lại đề nhé bạn.

Dễ thấy BĐT sai với a=b=c=1

À mình nhầm . Mình sửa lại đề rồi nhé. Thanks

 

[hien_vuthithanh]

Cho 3 số dương $x$,$y$,$z$ thỏa mãn : $xyz$=1. Chứng minh rằng:$\sum$ $\frac {1}{\sqrt{x^2+1}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}} $

Giả sử $x=\text{max}\{x,y,z\}$ thì $yz$ \leq 1
Ta có $\dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{ \sqrt{1+z^2}})^2$ \leq $\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2} $ \leq $\dfrac{2}{1+yz} $
\Rightarrow $\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} $ \leq $\dfrac{2}{\sqrt{1+yz}}$
mà $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ \leq $\dfrac{\sqrt{2}}{x+1}$
\Rightarrow ta cần c/m $\dfrac{2}{\sqrt{1+yz}}$+$\dfrac{\sqrt{2}}{x+1}$ \leq $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
\Leftrightarrow $\dfrac{2\sqrt{x(x+1)}}{x+1}$+$\dfrac{\sqrt{2}}{x+1}$ \leq $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
\Leftrightarrow $\dfrac{-(\sqrt{x+1}-\sqrt{2x})^2}{\sqrt{2}(x+1)}$ \leq 0 (luôn đúng)
\Rightarrow dpcm

 

[hien_vuthithanh]

Cho 3 số dương $x$,$y$,$z$ thỏa mãn : $xyz$=1. Chứng minh rằng:$\sum$ $\frac {1}{\sqrt{x^2+1}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}} $

Cách khác
Đặt $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ ,$y=\sqrt{\dfrac{c}{b}}$ ,$z=\sqrt{\dfrac{a}{c}}$
\Rightarrow BĐT \Leftrightarrow $\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}$ \leq $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
AD bunhia $(\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}} )^2$ \leq $(\sum(a+b).(\sum \dfrac{b}{(b+c)(a+b)})$=$\dfrac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
\Rightarrow cần c/m BĐT phụ $8(a+b+c)(ab+bc+ca)$ \leq $9(a+b)(b+c)(c+a)$ (c/m = nhân tung ra rồi dùng 1 lần AM-GM là được)

 

[huynhbachkhoa23]

Ta có $\dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{ \sqrt{1+z^2}})^2$ \leq $\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2} $ \leq $\dfrac{2}{1+yz} $
\Rightarrow $\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} $ \leq $\dfrac{2}{\sqrt{1+yz}}$
mà $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ \leq $\dfrac{\sqrt{2}}{x+1}$
\Rightarrow ta cần c/m $\dfrac{2}{\sqrt{1+yz}}$+$\dfrac{\sqrt{2}}{x+1}$ \leq $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
\Leftrightarrow $\dfrac{2\sqrt{x(x+1)}}{x+1}$+$\dfrac{\sqrt{2}}{x+1}$ \leq $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
\Leftrightarrow $\dfrac{-(\sqrt{x+1}-\sqrt{2x})^2}{\sqrt{2}(x+1)}$ \leq 0 (luôn đúng)
\Rightarrow dpcm

Chị giải bị lỗi rồi.
Giả sử $x=\text{max}\{x,y,z\}$
Khi đó ta có mới có được:
$\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+yz}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}$
Đừng xác nhận, bấm nhầm nút