Toán 10 Đa thức

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho P(x) = (x^2-7x+6)^2n + 13
Giả sử P(x) được phân tích thành 2 đa thức khác hằng
Chứng minh bậc của 2 đa thức đó là 2n

 

[7 1 2 5]

Đây là mở rộng của VMO 2014 nhỉ.
Gọi [imath]x_1,x_2,...,x_{4n}[/imath] là các nghiệm phức của [imath]P(x)[/imath]. Giả sử [imath]P(x)[/imath] viết được thành tích của [imath]Q(x),R(x) \in \mathbb{R}[x][/imath]
Khi đó vì [imath]P(x)[/imath] là đa thức monic nên [imath](x^2-7x+6)^{2n}+13=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{4n})[/imath]
Giả sử [imath]Q(x)[/imath] có bậc [imath]k[/imath].
Bằng cách sắp xếp lại thứ tự các nghiệm ta có thể viết [imath]Q(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_k)[/imath]
[imath]\Rightarrow [(x_i-1)(x_i-6)]^{2n}=-13 \forall i=\overline{1,4n}[/imath]
[imath]\Rightarrow |(x_i-1)(x_i-6)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,4n}[/imath]
Mặt khác [imath]Q(1)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k) \in \mathbb{Z}[/imath] nên [imath]|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)| \in \mathbb{Z}[/imath]
Tương tự [imath]|(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)| \in \mathbb{Z} \Rightarrow m=|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)| \in \mathbb{Z}[/imath]
Lại có [imath]|(x_i-1)(x_i-6)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,4n} \Rightarrow |(1-x_i)(6-x_i)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,k}[/imath]
[imath]\Rightarrow m=|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)|=\sqrt[2n]{13^k} \in \mathbb{Z}[/imath]
[imath]\Rightarrow k=2n[/imath]
Từ đó ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^

 

[David Wind]

Đây là mở rộng của VMO 2014 nhỉ.
Gọi [imath]x_1,x_2,...,x_{4n}[/imath] là các nghiệm phức của [imath]P(x)[/imath]. Giả sử [imath]P(x)[/imath] viết được thành tích của [imath]Q(x),R(x) \in \mathbb{R}[x][/imath]
Khi đó vì [imath]P(x)[/imath] là đa thức monic nên [imath](x^2-7x+6)^{2n}+13=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{4n})[/imath]
Giả sử [imath]Q(x)[/imath] có bậc [imath]k[/imath].
Bằng cách sắp xếp lại thứ tự các nghiệm ta có thể viết [imath]Q(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_k)[/imath]
[imath]\Rightarrow [(x_i-1)(x_i-6)]^{2n}=-13 \forall i=\overline{1,4n}[/imath]
[imath]\Rightarrow |(x_i-1)(x_i-6)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,4n}[/imath]
Mặt khác [imath]Q(1)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k) \in \mathbb{Z}[/imath] nên [imath]|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)| \in \mathbb{Z}[/imath]
Tương tự [imath]|(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)| \in \mathbb{Z} \Rightarrow m=|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)| \in \mathbb{Z}[/imath]
Lại có [imath]|(x_i-1)(x_i-6)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,4n} \Rightarrow |(1-x_i)(6-x_i)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,k}[/imath]
[imath]\Rightarrow m=|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)|=\sqrt[2n]{13^k} \in \mathbb{Z}[/imath]
[imath]\Rightarrow k=2n[/imath]
Từ đó ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^

Mộc Nhãna ơi cho e hỏi bài này chứng minh bất khả quy luôn được không ạ?

 

[7 1 2 5]

a ơi cho e hỏi bài này chứng minh bất khả quy luôn được không ạ?

David WindTiếp chỗ đó luôn nha.
Khi đó ta có [imath]m=Q(1)Q(6)=13[/imath].
Mà [imath]Q(1),Q(6)>0;Q(6)-Q(1) \vdots 5[/imath] nên không tồn tại [imath]Q(x)[/imath] thỏa mãn.
Từ đó [imath]P(x)[/imath] bất khả quy.

 

[2712-0-3]

Đây là mở rộng của VMO 2014 nhỉ.
Gọi [imath]x_1,x_2,...,x_{4n}[/imath] là các nghiệm phức của [imath]P(x)[/imath]. Giả sử [imath]P(x)[/imath] viết được thành tích của [imath]Q(x),R(x) \in \mathbb{R}[x][/imath]
Khi đó vì [imath]P(x)[/imath] là đa thức monic nên [imath](x^2-7x+6)^{2n}+13=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{4n})[/imath]
Giả sử [imath]Q(x)[/imath] có bậc [imath]k[/imath].
Bằng cách sắp xếp lại thứ tự các nghiệm ta có thể viết [imath]Q(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_k)[/imath]
[imath]\Rightarrow [(x_i-1)(x_i-6)]^{2n}=-13 \forall i=\overline{1,4n}[/imath]
[imath]\Rightarrow |(x_i-1)(x_i-6)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,4n}[/imath]
Mặt khác [imath]Q(1)=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k) \in \mathbb{Z}[/imath] nên [imath]|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)| \in \mathbb{Z}[/imath]
Tương tự [imath]|(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)| \in \mathbb{Z} \Rightarrow m=|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)| \in \mathbb{Z}[/imath]
Lại có [imath]|(x_i-1)(x_i-6)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,4n} \Rightarrow |(1-x_i)(6-x_i)|=\sqrt[2n]{13} \forall i=\overline{1,k}[/imath]
[imath]\Rightarrow m=|(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)(6-x_1)(6-x_2)...(6-x_k)|=\sqrt[2n]{13^k} \in \mathbb{Z}[/imath]
[imath]\Rightarrow k=2n[/imath]
Từ đó ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^

Mộc Nhãn@Mộc Nhãn,anh ơi a có thể cho em xin chút tài liệu về phần đa thức này k anh