Toán 10 Đa thức

[mỳ gói]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đa thức P(k) bậc n thỏa mãn
$P(k)=\frac{k}{k+1} $ với mọi k =1,2,3,...,n
Tìm P(n+1)

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Đáp án là $ P (n + 1) = 1 $.

Thật vậy, hãy xét $ Q (X) = (X + 1) P (X) -X $.

Ta có $ \deg Q \leq n + 1 $ và $ Q (k) = 0 $ với $ k = 0,1,2, \ldots, n $.

Do đó, có một hằng số $ \lambda $ sao cho $ Q (X) = \lambda\prod\limits_ {k = 0} ^ n (X-k) $.
Để xác định lambda,ta lưu ý rằng $ Q (-1) = 1 = \lambda (-1) ^ {n + 1} (n + 1)! $, Do đó
$$
XP (X + 1) -X = \frac {1} {(n + 1)!}\prod_{k = 0} ^ n (k-X)
$$
Thay thế $ X = n + 1 $,ta nhận được $ P (n + 1) = 1 $.