Toán 10 Đa thức hệ số nguyên

[lilnuuu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp e với ạ :<

 

[2712-0-3]

giúp e với ạ :<
View attachment 213418

lilnuuu
Giả sử tồn tại thỏa mãn đề bài.
Xét [imath]Q(x)= P(x)-x[/imath]
[imath]\Rightarrow Q(1+\sqrt{3}) = 1 ; Q(3+\sqrt{5} ) =0[/imath]
Khi này, [imath]Q(x)[/imath] sẽ chia hết cho đa thức hệ số nguyên bậc nhỏ nhất nhận [imath]3+\sqrt{5}[/imath] là nghiệm (và các hệ số có ước chung lớn nhất là 1) (gọi là [imath]f(x)[/imath])
và [imath]Q(x)-1[/imath] sẽ chia hết cho đa thức hệ số nguyên bậc nhỏ nhất nhận [imath]1+\sqrt{3}[/imath] là nghiệm (và các hệ số có ước chung lớn nhất là 1) gọi là [imath]g(x)[/imath])
Dễ nhận thấy, [imath]f(x) = x^2-6x+4 ; g(x)=x^2-2x-2[/imath] (cái nãy xét bậc 1 thì loại, bậc 2 thì tìm được đa thức kia, khá dễ thôi bạn nhé).
Nên ta sẽ viết [imath]Q(x) = (x^2-6x+4)R(x) = (x^2-2x-2)H(x) +1[/imath] trong đó [imath]R(x), H(x) \in \mathbb{Z}[x][/imath]
[imath]\Rightarrow Q(0) = 4 R(0) = -2H(0)+1[/imath] (vô lý do vế trái chẵn, vế phải lẻ)

Em chưa thấy cách này hay lắm, @7 1 2 5 cho em xin chút ý kiến với hướng khác xử lý được không anh.

 

[7 1 2 5]

Giả sử tồn tại thỏa mãn đề bài.
Xét [imath]Q(x)= P(x)-x[/imath]
[imath]\Rightarrow Q(1+\sqrt{3}) = 1 ; Q(3+\sqrt{5} ) =0[/imath]
Khi này, [imath]Q(x)[/imath] sẽ chia hết cho đa thức hệ số nguyên bậc nhỏ nhất nhận [imath]3+\sqrt{5}[/imath] là nghiệm (và các hệ số có ước chung lớn nhất là 1) (gọi là [imath]f(x)[/imath])
và [imath]Q(x)-1[/imath] sẽ chia hết cho đa thức hệ số nguyên bậc nhỏ nhất nhận [imath]1+\sqrt{3}[/imath] là nghiệm (và các hệ số có ước chung lớn nhất là 1) gọi là [imath]g(x)[/imath])
Dễ nhận thấy, [imath]f(x) = x^2-6x+4 ; g(x)=x^2-2x-2[/imath] (cái nãy xét bậc 1 thì loại, bậc 2 thì tìm được đa thức kia, khá dễ thôi bạn nhé).
Nên ta sẽ viết [imath]Q(x) = (x^2-6x+4)R(x) = (x^2-2x-2)H(x) +1[/imath] trong đó [imath]R(x), H(x) \in \mathbb{Z}[x][/imath]
[imath]\Rightarrow Q(0) = 4 R(0) = -2H(0)+1[/imath] (vô lý do vế trái chẵn, vế phải lẻ)

Em chưa thấy cách này hay lắm, @7 1 2 5 cho em xin chút ý kiến với hướng khác xử lý được không anh.

2712-0-3Anh thấy cách này khá là ổn rồi, xử lý đa thức tối tiểu với số học thì còn gì bằng nữa.
Bài này là bài của Nga, năm 2014 nên chắc bài VMO 2017 lấy ý tưởng từ đây đó :v