Toán 10 Chứng minh a^4 + b^4 + c^4 >= abc(a + b + c)

[Khánh Xái]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 5 cứu vơis phần d ạ

 

[Lê.T.Hà]

[tex](a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2\geq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geq ab.bc+bc.ca+ab.ca=abc(a+b+c)[/tex]

 

[Khánh Xái]

[tex](a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2\geq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geq ab.bc+bc.ca+ab.ca=abc(a+b+c)[/tex]

Bạn có thể giải thích rõ ràng được không ạ

 

[Minh Tín]

Bài 5 cứu vơis phần d ạView attachment 143127

Chứng minh: [tex]a^4+b^4+c^4 \geq abc(a+b+c)[/tex]
Xét vế trái: Theo BĐT AM-GM: [tex]a^4 + b^4 \geq 2(ab)^2[/tex]
Tương tự, cộng theo vế ta suy ra: [tex]2a^4+2b^4+2c^4 \geq 2(ab)^2 + 2(ac)^2+ 2(bc)^2 [/tex]
Vậy [tex]a^4+b^4+c^4 \geq (ab)^2 + (ac)^2+ (bc)^2 [/tex] (1)
Mặt khác, [TEX](ab)^2 + (ac)^2 = a^2(b^2+c^2) \geq a^2(2bc) = 2a^2bc [/TEX] (AM-GM)
Tương tự, ta suy ra [TEX]2(ab)^2 + 2(ac)^2+ 2(bc)^2 \geq 2a^2bc + 2b^2ac + 2c^2ab [/TEX]
Vậy [TEX](ab)^2 + (ac)^2+ (bc)^2 \geq a^2bc + b^2ac + c^2ab = abc(a+b+c) [/TEX] (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm.