Cứu mình với

V

vat09

vat09 said:
Cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{sqrt{a^2 + 2b^2}}{ab}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{b^2 + 2c^2}}{bc}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{c^2 + 2a^2}}{ac}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Xin lỗi vì type thiếu.Giờ xin mọi người giú đỡ:
Cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{sqrt{a^2 + 2b^2}}{ab}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{b^2 + 2c^2}}{bc}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{c^2 + 2a^2}}{ac}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]sqrt{3}[/TEX]
 
V

vodichhocmai

vat09 said:
Cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{sqrt{a^2 + 2b^2}}{ab}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{b^2 + 2c^2}}{bc}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{c^2 + 2a^2}}{ac}\sqrt{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bất đẳng thức viết lại.

[TEX]\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}\ge \sqrt{3}[/TEX]

Đặt [TEX]\vec {a} =\(\frac{1}{b};\frac{\sqrt{2}}{a}\) \ \ \vec {b}=\(\frac{1}{c};\frac{\sqrt{2}}{b}\) \ \ \vec {c}=\(\frac{1}{a};\frac{\sqrt{2}}{c}\) [/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức [TEX]Vecto[/TEX] ta có. [TEX]|\vec {a}|+|\vec {b}|+|\vec {c}|\ge |\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}|[/TEX]

Hay: [TEX]\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}\ge \sqrt{ \(\sum_{cyc}\frac{1}{a}\)^2+2\(\sum_{cyc}\frac{1}{a}\)^2}(!)[/TEX]

Theo giả thuyết [TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{a}=1(!!)[/TEX]

[TEX](!)&(!!)\righ \sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}\ge \sqrt{3}(dpcm)[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

Bunhiacopxki................................................................50
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

vat09 said:
Cám ơn bạn nhưng dùng cách này đẻ giải như thế nào vậy
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có:

[TEX]\(\frac{1}{b}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2} }{a}\)\le \sqrt{1+2}.\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}} [/TEX]

[TEX]\righ \sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}\ge \frac{\frac{1}{b}+\frac{2 }{a}}{\sqrt{3}}[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}\ge \frac{3\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)}{ \sqrt{3}}=\sqrt{3} \ \ (dpcm)[/TEX]
 
V

vodichhocmai

Sử dụng phương pháp trọng số :

[TEX]\frac{1}{b}+\frac{x.\sqrt{2}}{a}\le \sqrt{1+x^2}\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=\sqrt{2}[/TEX].

Thế vào là [TEX]OK^n[/TEX]

:khi (163)::khi (163)::khi (163):
 
S

sieuthamtu_sieudaochit

vat09 said:
Xin lỗi vì type thiếu.Giờ xin mọi người giú đỡ:
Cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{sqrt{a^2 + 2b^2}}{ab}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{b^2 + 2c^2}}{bc}[/TEX] + [TEX]\frac{sqrt{c^2 + 2a^2}}{ac}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]sqrt{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta coá
[TEX]\frac{sqrt{a^2 + 2b^2}}{ab}=\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{1}{sqrt{3}} (\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2})[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom