[TEX]x=\frac{u}{v};y=\frac{v}{w};z=\frac{w}{u}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]P=\frac{vw}{uv+uw}+\frac{wu}{vw+vu}+\frac{uv}{wu+vw}[/TEX]
Đoạn này đã thay sai :| , cái này chính là bđt NB
Đặt $x=\dfrac ab ; y=\dfrac bc ; z=\dfrac ca$
$P=\dfrac c{a+c} +\dfrac a{b+a} + \dfrac b{c+b}$
Ta dễ thấy $P=3-Q$ với $Q=\dfrac a{a+c}+\dfrac b{a+b}+\dfrac c{b+c}$
Nếu P đạt giá trị nhỏ nhất thì Q phải đạt giá trị lớn nhất và ngược lại , tuy nhiên ta thấy các ẩn ở P và Q tương đương nhau,nếu thay c=a;a=b;b=c thì P sẽ trở thành Q
Sau đây mình sẽ chứng minh P không có gtnn
Giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=a_0;b=b_0;c=c_0$
$\min P=\dfrac {c_0}{a_0+c_0} +\dfrac{ a_0}{b_0+a_0} + \dfrac {b_0}{c_0+b_0}$
Nếu $\min P$ tồn tại thì với mọi cách chọn 3 số (a,b,c) bất kỳ , ta luôn nhận được 1 giá trị $P^'> \min P$
Vậy chỉ cần chỉ ra tồn tại 1 bộ 3 số (a;b;c) sao cho $P^' < \min P$ thì ta có thể chứng minh P không có giá trị nhỏ nhất
Luôn tồn tại 1 số $a_1 >0$ sao cho $(a_0a_1-bc)(c_0-b_0)(a_1-a_0)>0$
\Leftrightarrow $(a_1-a_0)[c(a_1+b_0)(a_0+b_0)-b_0(a_0+c_0)(a_1+c_0)] >0$
\Leftrightarrow $(a_1-a_0)\dfrac{c(a_1+b_0)(a_0+b_0)-b_0(a_0+c_0)(a_1+c_0)]}{[(a_0+c_0)(a_1+c_0)].[(a_1+b_0)(a_0+b_0)]}>0$
\Leftrightarrow $(a_1-a_0)\big(\dfrac {c_0}{(a_0+c_0)(a_1+c_0)}-\dfrac {b_0}{(a_1+b_0)(a_0+b_0)}\big) >0$
\Leftrightarrow $\dfrac{a_1c_0-a_0c_0}{(a_0+c_0)(a_1+c_0)}-\dfrac{a_1b_0-a_0b_0}{(a_1+b_0)(a_0+b_0)} >0$
\Leftrightarrow $\dfrac{c_0(a_1+c_0)-c_0(a_0+c_0)}{(a_1+c_0)(a_0+c_0)}-\dfrac{(b_0+a_0)a_1-a_0(a_1+b_0)}{(a_1+b_0)(a_0+b_0)} >0$
\Leftrightarrow $\dfrac{c_0}{a_0+c_0}-\dfrac{c_0}{a_1+c_0}-\dfrac{a-1}{b_0+a_1}+\dfrac{a_0}{b_0+a_0}>0$
\Leftrightarrow $\dfrac{c_0}{a_0+c_0}+\dfrac{a_0}{b_0+a_0} > \dfrac{c_0}{a_1+c_0}+\dfrac{a_1}{b_0+a_1}$
\Leftrightarrow $\dfrac{c_0}{c_0+a_0}+\dfrac{a_0}{b_0+a_0}+\dfrac{b_0}{b_0+c_0}>\dfrac{c_0}{a_1+c_0}+\dfrac{a_1}{b_0+a_1}+\dfrac{b_0}{c_0+b_0}$
\Leftrightarrow $\min P >>\dfrac{c_0}{a_1+c_0}+\dfrac{a_1}{b_0+a_1}+\dfrac{b_0}{c_0+b_0}$
Nếu ta chọn $a=a_1;b=b_0;c=c_0$ thì ta có $P^'=\dfrac{c_0}{a_1+c_0}+\dfrac{a_1}{b_0+a_1}+ \dfrac{b_0}{c_0+b_0}$
\Leftrightarrow $\min P >P^'$
Do đó P không có giá trị nhỏ nhất hay $\min P$ không tồn tại
Nên đổi đề thành tìm GTLN của biểu thức chắc ra được không nhỉ?
Cũng không thể
, luôn tòn tại số $a_2$ sao cho $(a_0a_2-bc)(c_0-b_0)(a_2-a_0) < 0$ , biến đổi hệt như trên ; ta lại chỉ ra được tồn tại $P^' > \max P$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
$ đúng không? Bạn hãy thay với $x=\dfrac23;y=3;z=\dfrac12$ , ta được $P=\dfrac{89}{60}<\dfra