- Cùng nhau CM Bất đẳng thức nào !!!

2

251295

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.


- Sau đây là một số bài CM Bất đẳng thức (Đề nghị các bạn tham gia thật sôi nổi vì dạo này box Toán 8 trầm quá đi ta):

a) [TEX]a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX] với [TEX]a+b=1[/TEX] (Quá dễ).

b) [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX] với [TEX]a+b+c=1[/TEX].

c*) [TEX]a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n \geq \frac{1}{n}[/TEX] với: [TEX]a_1+a_2+a_3+...+a_n=1[/TEX]

d*) [TEX]a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n \geq \frac{k^2}{n}[/TEX] với [TEX] a_1+a_2+a_3+...+a_n=k[/TEX].

- Các bạn giải đi nhé !!! Giải xong tớ sẽ post thêm bài lên !!!
 
T

tuananh8

a)ta có 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2 (cm quá dễ)=>a^2+b^2 >= (a+b)^2/2=1/2
b)ta có a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca(cm dành cho các bạn)=>3(a^2+b^2+c^2)>=ab+bc+ca+2(a^2+b^2+c^2)=>3(a^2+b^2+c^2)>= (a+b+c)^2=>a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3=1/3.
 
J

jupiter994

251295 said:

- Sau đây là một số bài CM Bất đẳng thức (Đề nghị các bạn tham gia thật sôi nổi vì dạo này box Toán 8 trầm quá đi ta):

a) [TEX]a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX] với [TEX]a+b=1[/TEX] (Quá dễ).

b) [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX] với [TEX]a+b+c=1[/TEX].

c*) [TEX]a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n \geq \frac{1}{n}[/TEX] với: [TEX]a_1+a_2+a_3+...+a_n=1[/TEX]

d*) [TEX]a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n \geq \frac{k^2}{n}[/TEX] với [TEX] a_1+a_2+a_3+...+a_n=k[/TEX].

- Các bạn giải đi nhé !!! Giải xong tớ sẽ post thêm bài lên !!!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

toàn bộ cái này dùng bunhia copxki để chứng minh mà bạn
[tex](a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(1.n) \geq (a_1 + a_2+....+a_n)^2[/tex]
 
H

hoanglinh26

mình quên mất, cứ tưởng của lớp 9. sr :| ...........................................................
 
2

251295

- Đề tiếp nè !!!

tuananh8 said:
Post tiếp đề lên đi bạn! !
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

- Đề tiếp nè !!!
Bài 1: CM rằng với [TEX]a,b,c>0[/TEX] thì:

a) [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c} \geq a+b+c[/TEX]

b) [TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c} \leq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

- Xong thì làm bài này nhé !!! (Khá hóc !!!)

- CMR nếu [TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

[TEX]|(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})| \leq 1[/TEX]

- NX: Còn về 3 bài đầu tiên, thì tôi có cách khác đó chính là:

- Đặt [TEX]a=\frac{1}{2}+x[/TEX] và [TEX]b=\frac{1}{2}+b[/TEX].

- Tương tự với các con khác, ta thay vào và giải.
 
T

tuananh8

Bài 1:
áp dụng BĐT cô-si cho 2 số ko am bc/a và ab/c: bc/a+ ab/c >= 2b (1)
tương tự bc/a+ac/b >= 2c (2) ; ac/b+ab/c >= 2a (3)
cộng 3 vế của (1);(2) và (3) ta có đpcm.
tạm thời như thế đã....
 
T

tuananh8

251295 said:


- Đề tiếp nè !!!
Bài 1: CM rằng với [TEX]a,b,c>0[/TEX] thì:

a) [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c} \geq a+b+c[/TEX]

b) [TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c} \leq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

- Xong thì làm bài này nhé !!! (Khá hóc !!!)

- CMR nếu [TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

[TEX]|(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})| \leq 1[/TEX]

- NX: Còn về 3 bài đầu tiên, thì tôi có cách khác đó chính là:

- Đặt [TEX]a=\frac{1}{2}+x[/TEX] và [TEX]b=\frac{1}{2}+b[/TEX].

- Tương tự với các con khác, ta thay vào và giải.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bài 2 nè:
Ta có:[TEX]ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}[/TEX]
[TEX]bc\leq\frac{(b+c)^2}{4}[/TEX]
[TEX]ca\leq\frac{(c+a)^2}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX][TEX]\frac{ab}{a+b}\leq\frac{\frac{(a+b)^2}{4}}{a+b}[/TEX][TEX][/TEX]=[TEX]\frac{a+b}{4}[/TEX]
tương tự [TEX]\frac{bc}{b+c}\leq\frac{b+c}{4}[/TEX];[TEX]\frac{ca}{c+a}\leq\frac{c+a}{4}[/TEX].cộng 3 vế của 3 BĐT trên ta có đpcm.
 
B

brandnewworld

251295 said:

- Sau đây là một số bài CM Bất đẳng thức (Đề nghị các bạn tham gia thật sôi nổi vì dạo này box Toán 8 trầm quá đi ta):

a) [TEX]a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX] với [TEX]a+b=1[/TEX] (Quá dễ).

b) [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX] với [TEX]a+b+c=1[/TEX].

c*) [TEX]a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n \geq \frac{1}{n}[/TEX] với: [TEX]a_1+a_2+a_3+...+a_n=1[/TEX]

d*) [TEX]a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n \geq \frac{k^2}{n}[/TEX] với [TEX] a_1+a_2+a_3+...+a_n=k[/TEX].

- Các bạn giải đi nhé !!! Giải xong tớ sẽ post thêm bài lên !!!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Toàn bộ dùng bu-nha-a-xcốp-ki hết, quá dễ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
S

seagirl_41119

Hoá ra mấy bn này thik làm toán bđt , chờ chị post cho mà làm, chị có quyển sách tuyển tập 263 bài bđt hay đó, phân loại luôn
I, Bunnhia nha
1,
Cho các số thực dương x,y,z với x\geqy\geqz. chứng minh rằng :
[TEX]\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \geq x^2+y^2+z^2[/TEX]
--->Đây là đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1991

2,
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác.CMR
[TEX]a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0[/TEX]
Khi nào dấu đẳng thức xảy ra
---> Đề thi toán quốc tế năm 1983

3,
CHo [TEX]x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1[/TEX]
CM: [TEX] \| \ u(x-y) + v(x+y)\| \ \leq\sqrt{2}[/TEX]
 
P

phuca5gv

Lời giải bài 1 đây:
Ta biến đổi tương đương:
[TEX] \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2x}{y} \geq x^2 + y^2 + z^2 \Leftrightarrow x^3y^2 +y^3z^2 + z^3x^2 \geq x^3yz + y^3zx + z^3xy \Leftrightarrow x^3y(y-z) + y^2z^2(y-z) + z^3(y^2 - 2xy + x^2) - xyz(y^2 - z^2) \geq 0 \Leftrightarrow (y - z)[xy(x^2 - z^2) - y^2z(x-z)] + z^3(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (y-z)(x-z)(x^2y + xyz - y^2z) + z^3(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (y - z)(x - z)[x^2y + yz(x-y)] + z^3(x-y)^2 \geq 0[/TEX]( luôn đúng với các số thực dương x,y,z thoả mãn thứ tự ở đề bài.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
Đây là cách giải không sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski!!!;););)
 
P

phuca5gv

Ghi chú : trong bài của tớ thì <br/> nghĩa là ''tương đương với'' nha. Xin lỗi các bạn vì đánh nhầm!!! :(:(:(
 
B

brandnewworld

phuca5gv said:
Lời giải bài 1 đây:
Ta biến đổi tương đương:
[TEX] \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2x}{y} \geq x^2 + y^2 + z^2 \Leftrightarrow x^3y^2 +y^3z^2 + z^3x^2 \geq x^3yz + y^3zx + z^3xy \Leftrightarrow x^3y(y-z) + y^2z^2(y-z) + z^3(y^2 - 2xy + x^2) - xyz(y^2 - z^2) \geq 0 \Leftrightarrow (y - z)[xy(x^2 - z^2) - y^2z(x-z)] + z^3(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (y-z)(x-z)(x^2y + xyz - y^2z) + z^3(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (y - z)(x - z)[x^2y + yz(x-y)] + z^3(x-y)^2 \geq 0[/TEX]( luôn đúng với các số thực dương x,y,z thoả mãn thứ tự ở đề bài.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
Đây là cách giải không sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski!!!;););)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách này dài quá, để tớ nghiên cứu cách khác xem!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
T

tuananh8

seagirl_41119 said:
Hoá ra mấy bn này thik làm toán bđt , chờ chị post cho mà làm, chị có quyển sách tuyển tập 263 bài bđt hay đó, phân loại luôn
I, Bunnhia nha
1,
Cho các số thực dương x,y,z với x\geqy\geqz. chứng minh rằng :
[TEX]\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \geq x^2+y^2+z^2[/TEX]
--->Đây là đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1991

2,
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác.CMR
[TEX]a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0[/TEX]
Khi nào dấu đẳng thức xảy ra
---> Đề thi toán quốc tế năm 1983

3,
CHo [TEX]x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1[/TEX]
CM: [TEX] \| \ u(x-y) + v(x+y)\| \ \leq\sqrt{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bài 1:
áp dụng BĐT bunnhiakovski:
[TEX](\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2x}{y})(\frac{x^2z}{y} + \frac{y^2x}{z} + \frac{z^2y}{x})\geq (x^2 + y^2 + z^2)^2[/TEX](1)
mặt khác: vì [TEX]x \geq y \geq z[/TEX] nên
[TEX]\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2x}{y} - \frac{x^2z}{y} - \frac{y^2x}{z} - \frac{z^2y}{x} = \frac{(xy+yz+xz)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz} \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z} + \frac{z^2y}{x} \leq \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2x}{y}[/TEX](2)
từ (1) và (2) ta có
[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \leq \sqrt[]{(\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x}+ \frac{z^2x}{y})(\frac{x^2z}{y}+ \frac{y^2x}{z} + \frac{z^2y}{x})}[/TEX]
[TEX]\leq \sqrt[]{(\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2x}{y})^2} = \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2x}{y}[/TEX][TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm:)&gt;-
 
G

gameboykid

lay tu trong sach chu dau

cach giai nhu sau:
ap dung bat dang thuc cauchy cho a va b la xong sau do dung kien thuc tong a+b khong doi tich lon nhat <=> a=b .tu day => 2ab Max=\frac{1}{2}
con may cau sau tu suy nghi nhe to het gio len mang rui thong cam
 
G

gameboykid

lay tu trong sach chu dau

cach giai nhu sau:
ap dung bat dang thuc cauchy cho a va b la xong sau do dung kien thuc tong a+b khong doi tich lon nhat <=> a=b .tu day => 2ab Max=1/2
con may cau sau tu suy nghi nhe to het gio len mang rui thong cam
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom