Toán 9 Cực trị

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho các số x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
Tính Min [tex]\sqrt{x^2+xy+y^2} + \sqrt{y^2+yz+z^2} + \sqrt{z^2+zx+x^2}[/tex]
2) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1
Tính Max [tex]P = \frac{ab}{a^5+b^5+ab} + \frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}[/tex]

 

[7 1 2 5]

2.Ta thấy:[tex]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/tex]
Vì [tex]a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a-b)(a^3-b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\Rightarrow a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)\geq (a+b)a^2b^2\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{1}{\frac{1}{c}(a+b)+1}=\frac{c}{a+b+c}[/tex]
Tương tự thì [tex]\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\leq \frac{a}{a+b+c};\frac{ca}{c^5+a^5+ac}\leq \frac{b}{a+b+c}\Rightarrow P\leq 1[/tex]
1.Ta thấy:[tex]\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\Leftrightarrow x^2+xy+y^2\geq \frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x-y)^2\geq 0(luôn đúng)[/tex]
Tương tự thì [tex]\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(y+z),\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+z)\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)=\sqrt{3}[/tex]