Toán 9 Cực trị

[Tôi Sẽ Kể Cho Bạn Nghe Về Một Huyền Thoại]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức
[tex]P=\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}[/tex]

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức
[tex]P=\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}[/tex]

[tex]\sqrt{2a^2+ab+b^2}=\sqrt{\frac{(a^2+2ab+b^2)}{2}+\frac{3(a^2+b^2)}{2}}\\\geq \sqrt{\frac{5(a+b)^2}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}(a+b)[/tex]
CMTT suy ra [tex]P\geq \sqrt{5}(a+b+c)[/tex]
Áp dụng bđt bunhia ta có
[tex]1=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\leq 3(a+b+c)\Rightarrow a+b+c\geq \frac{1}{3}[/tex]
Suy ra [tex]P\geq \frac{\sqrt{5}}{3}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{9}[/tex]