Toán Cực trị

[Nguyễn Hương Giang .]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương x;y;z thỏa mãn : $x^2+y^2+z=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

[tex]P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{16z}[/tex]

@matheverytime @Học Trò Của Sai Lầm

 

[matheverytime]

từ giả thiết ta có : [tex]3xy \geqslant 2xy+z=>z\leqslant xy[/tex]
=> [tex]P\geqslant \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{3xy(x+y)}{16xy}\geqslant \frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{(x+y)^3}{4}}+\frac{3(x+y)}{16}=\frac{4}{x+y+2}+\frac{3(x+y+2)}{16}-\frac{3}{8}\geqslant 2\sqrt{\frac{4.3}{16}}-\frac{3}{8}=\sqrt{3}-\frac{3}{8}[/tex]
dấu "=" khi [tex]\frac{4}{x+y+2}=\frac{3(x+y+2)}{16}<=>64=3(x+y+2)^2=>x+y+2=\frac{8}{\sqrt{3}}=>x+y=\frac{8}{\sqrt{3}}-2=>x=y=\frac{8}{2\sqrt{3}}-1[/tex]=>z=...