Toán cực trị

[hoàng ly]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm m để hàm số y=x^4 +2mx^2 +m^2 +2m có 3 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu bằng 4

 

[minhhoang_vip]

$y=x^4+2mx^2+m^2+2m \ (1)$
$y' = 4x^3+4mx$
$y'=0 \Leftrightarrow 4x^3+4mx=0 \\
\Leftrightarrow 4x(x^2+m) = 0 \\
\Leftrightarrow
\left[\begin{matrix}
x = 0\\
x^2=-m
\end{matrix}\right. \ (1a)$
ĐTHS $(1)$ ban đầu có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m < 0$
Khi đó $(1a) \Leftrightarrow
\left[\begin{matrix}
x = \sqrt{-m} \\
x^2=- \sqrt{-m}
\end{matrix}\right.$
$y=\left ( \sqrt{-m} \right ) ^4+2m \left ( \sqrt{-m} \right ) ^2+m^2+2m \\
= m^2-2m^2+m^2+2m \\
= 2m$
Toạ độ 2 điểm cực tiểu: $A \left ( \sqrt{-m} , 2m \right ), \ B \left ( - \sqrt{-m} , 2m \right ),$
$\overrightarrow{AB} = \left ( -2 \sqrt{-m} , 0 \right ) \\
\Leftrightarrow AB^2 = \left ( -2 \sqrt{-m} \right ) ^2 = 4^2 \\
\Leftrightarrow 4(-m)=16 \\
\Leftrightarrow -m = 4$
$\Leftrightarrow m = -4$ (thoả điều kiện $m<0$)
Vậy $m=-4$

 

[hoàng ly]

mình thắc mắc tại sao căn bậc 2 của -m tất cả bình lại bằng -m

 

[Mark Urich]

tìm m để hàm số y=x^4 +2mx^2 +m^2 +2m có 3 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu bằng 4

trước hết ta phải nhận xét là TXĐ của hàm số là R và hàm này là hàm chẵn nên đồ thị nó đối xứng qua Oy.
hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm tới hạn là các điểm mà tại đó đạo hàm = 0 (đây chỉ là đk cần, ko phải điều kiện đủ)
ta xét các điểm tới hạn = cách giải pt y' = 0 hay ([tex]4x(x^{2} + m) = 0[/tex] )
vì pt này tối đa chỉ có thể có 3 nghiệm thôi, nên để hàm số có 3 điểm cực trị thì trước hết pt phải có 3 nghiệm phân biệt đã. suy ra m trước hết phải thỏa m < 0. và 3 nghiệm phân biệt là 0, [tex]\pm \sqrt{m}[/tex]
- xét tại x = 0:
vì y'' (0) cũng = 0 nên ta phải tính số gia mới biết đc tại 0 hàm có đạt cực trị hay k?
số gia tại 0: cho x khác 0 và rất bé tại lân cận của 0, ta tính: y0 = y(0 + x) - y(0) = [tex]x^{2}(x^{2} + 2m)[/tex]
vì m < 0 nên chỉ cần lấy x nằm trong lân cận 0 < |x| < [tex]\sqrt{-2m}[/tex] thì sẽ có y0 < 0, có nghĩa là tồn tại lân cận tại 0 để y < 0 khi x trong lân cận đó. theo định nghĩa suy ra hàm số luôn đạt cực đại tại x = 0.
- xét tại x = [tex]\pm \sqrt{-m}[/tex]:
y'' = 12[tex]x^{2}[/tex] luôn dương, nên tại 2 điểm này là 2 điểm cực tiểu
Như vậy ta đã chỉ ra đc khi m < 0 hàm số đạt cực đại tai 0 và đạt cực tiểu tại 2 điểm đối xứng qua trục tung là [tex]\pm \sqrt{-m}[/tex]
do tính chất đối xứng nên khoảng cách 2 điểm cực tiểu = 2. k/c từ 1 điểm đến trục tung = 2.trị tuyệt đối của hoành độ = 2.[tex]\sqrt{-m}[/tex]
giải đk 2.[tex]\sqrt{-m}[/tex] = 4, m < 0 <---> m < 0 và [tex]\sqrt{-m} = 2[/tex] <---> m < 0 và -m = 4.
(căn bậc 2 của 1 số = 2 thì số đó phải = 4, vì theo định nghĩa căn bậc 2 của x là số k âm a sao cho a bình phương = x)