Toán Cực trị

[Bonechimte]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm giá trị nhỏ nhất của
$A=\frac{8}{\left (a + 3\right )^{2}} + \frac{4}{\left (b + 2\right )^{2}} + \frac{1}{\left (c + 1\right )^{2}}$
với a, b, c là số thực không âm thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 3b$

 

[Nghĩa bá đạo]

Tìm giá trị nhỏ nhất của
$A=\frac{8}{\left (a + 3\right )^{2}} + \frac{4}{\left (b + 2\right )^{2}} + \frac{1}{\left (c + 1\right )^{2}}$
với a, b, c là số thực không âm thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 3b$

Một ý tưởng
Ta có [tex]3b\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2(a+c)-6+4b\Leftrightarrow 6-b\geq 2(a+c)[/tex]
[tex]\frac{8}{(a+3)^{2}}+\frac{1}{2}\geq \frac{4}{a+3},\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{1}{4}\geq \frac{2}{b+2},\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{1}{4}\geq \frac{2}{c+1}[/tex]
Nên A [tex]\geq \frac{16}{4(a+30}+\frac{4}{2(b+2)}+\frac{4}{4(c+1)}-1\geq \frac{(4+2+2)^{2}}{4(a+3)+2(b+2)+4(c+1)}\geq 2-1\geq 1[/tex] (do giả thiết biến đổi trên)
Dấu bằng xảy ra khi a=c=1, b=2