Toán Cực trị

[Lạp Hộ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]0 \leq x,y \leq \frac{1}{2}[/tex] .
Chứng minh rằng : [tex]\frac{\sqrt{x}}{y+1} + \frac{\sqrt{y}}{x+1} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

 

[batman1907]

Cho [tex]0 \leq x,y \leq \frac{1}{2}[/tex] .
Chứng minh rằng : [tex]\frac{\sqrt{x}}{y+1} + \frac{\sqrt{y}}{x+1} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$\dfrac{\sqrt{2x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{2y}}{1+x}\leq \dfrac{4}{3}$
Áp dụng AM-GM ta có:
$\sum \dfrac{\sqrt{2x}}{1+y}=\sum \dfrac{2\sqrt{x.\frac{1}{2}}}{1+y}\leq \sum \dfrac{x+\frac{1}{2}}{1+y}$
Ta chứng minh:
$\dfrac{2x+1}{1+y}+\dfrac{2y+1}{1+x}\leq \dfrac{8}{3}$
$\Leftrightarrow 3x(2x-1)+3y(2y-1)-2(2x-1)(2y-1)\leq 0(*)$
Vì $0\leq x,y\leq \dfrac{1}{2}$ nên $3x(2x-1)\leq 0,3y(3y-1)\leq 0,-2(2x-1)(2y-1)\leq 0$
$\Rightarrow (*)$ đúng.
Vậy ta có đpcm.