Cực trị

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b là 2 số dương thỏa mãn $a+b \ge 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$ F = (a^3 +b^3)^2+(a^2 +b^2)+\dfrac{3}{2}ab$

 

[tienqm123]

Ta có : $ a+b \ge 1$ nên $ -ab \ge -\dfrac{1}{4}$ và $a^2 + b^2 \ge\dfrac{1}{2}$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2+b^2-ab) \ge a^2 + b^2 - ab \ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}$ = $\dfrac{1}{4}$
\Rightarrow $(a^3+b^3)^2 \ge\dfrac{1}{16}$
$a^2 + b^2$ + $\dfrac{3}{2}ab$ = $(a +b)^2 - \dfrac{1}{2}$ ab \geq $\dfrac{7}{8}$
Do đó $ F \ge \dfrac{1}{16}$ + $\dfrac{7}{8}$ = $\dfrac{15}{16}$
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a= b = 0,5$

Học cách gõ công thức .

 

[tienqm123]

bài trước mình làm nhầm nha

Ta có: $ a+b \ge 1 $ nên $ a^2 + b^2 \ge \dfrac{1}{2} $ và $ -ab \ge -\dfrac{a^2+b^2}{2} $
$ F = (a^3+b^3)^2 + a^2+b^2 + \dfrac{3}{2} ab $
\Rightarrow $ F \ge (a^2+b^2-ab)^2 + \dfrac{3}{4}(a+b)^2 + \dfrac{1}{4}(a^2+b^2) $
\Rightarrow $ F \ge (a^2+b^2-\dfrac{a^2+b^2}{2})^2 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8} $
\Rightarrow $ F \ge ( \dfrac{1}{4} )^2 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{15}{16} $