cực trị

[microwavest]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là các hình chiếu của H lên AB, AC.. Đặt AH=x, BC=2a (a là hằng số)
1)Chứng minh $AH^3=BC.BE.CF=BC.HE.HF$
2)TÍnh $S_{AEF}$ theo a và x. Tính x để $S_{AEF}$ đạt giá trị lớn nhất

 

[angleofdarkness]

1/

Chỉ cần áp dụng liên tiếp các hệ thức lượng trong tam giác vuông là ok bạn nhé

Có $AH.BC.BE.CF=AB.AC.BE.CF \\ =(AB.BE).(AC.CF) \\ =BH^2.CH^2 \\ =AH^4$
Do AH > 0 nên có $AH^3=BC.BE.CF$

Do $\Delta BEH \sim \Delta HFC$ \Rightarrow BE.CF = HE.HF

\Rightarrow $AH^3=BC.BE.CF=BC.HE.HF$

 

[angleofdarkness]

2/

Ta có $S_{AEF}=\dfrac{1}{2}S_{AEHF}=\dfrac{1}{2}HE.HF$

Theo 1/ thì $AH^3=BC.HE.HF$ hay $x^3=2a.HE.HF$

\Rightarrow $HE.HF=\dfrac{x^3}{2a}$ \Rightarrow $S_{AEF}=\dfrac{x^3}{4a}$

Như vậy thì $S_{AEF}$ max \Leftrightarrow x max \Leftrightarrow AH max.

Lấy M là t.đ BC \Rightarrow $AH \le AM=a=const$

\Rightarrow Max $S_{AEF}=\dfrac{a^3}{4a}=\dfrac{a^2}{4}$ khi x = a.