Cực trị

[s_m_i_l_e]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0, $-1\leq x,y,z\leq1$
Tìm GTLN và GTNN của:
$P=x^{4}+y^{6}+z^{8}$
Cảm ơn

 

[letsmile519]

Ta có:

$x^4$\geq0

$y^6$\geq0

$z^8$\geq0

\Rightarrow 4P$\geq0 khi $x=y=z=0$

 

[letsmile519]

GTLN:

Ta có:

$x^2(1-x^2)$\geq0

\Leftrightarrow $x^2$\geq $x^4$

Tương tự ta sẽ có:

P\leq$x^2+y^2+z^2$

Lại có : $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)$

Mà $(x+1)(y+1)(z+1)+(1-x)(1-y)(1-z)$\geq0

\Leftrightarrow $2+2(xy+yz+zx)$\geq0

\Leftrightarrow $2-(x^2+y^2+z^2)$\geq0

\Leftrightarrow $2$\geq $x^2+y^2+z^2$\geqP

Kết hợp điều kiện x+y+z=0=> dấu"=" xảy ra khi x=1,y=-1,z=0 và các hoán vị của nó

 

[buivanbao123]

Ta thấy $x^{2},x^{4},x{8}$ là mũ chẵn nên luôn >0
Do đó p=$x^{2}+x^{4}+x^{8}$ \geq 0
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=0