Cực trị

[duchieu300699]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$A=\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a}$
Tìm $min$ $A^2$ biết $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$

Đề không sai đâu nha

 

[nhokdangyeu01]

Ta có
$A^2$=$(\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a})^2$
=a+b+b+c+c+a+2$\sqrt[]{(a+b)(b+c)}$+2$\sqrt[]{(b+c)(c+a)}$+2$\sqrt[]{(c+a)(a+b)}$
=2+2$\sqrt[]{(a+b)(b+c)}$+2$\sqrt[]{(b+c)(c+a)}$+2$\sqrt[]{(c+a)(a+b)}$
Ta có
2$\sqrt[]{(a+b)(b+c)}$ \leq a+b+b+c =a+2b+c
2$\sqrt[]{(b+c)(c+a)}$ \leq b+c+c+a=a+b+2c
2$\sqrt[]{(c+a)(a+b)}$ \leq c+a+a+b=2a+b+c
\Rightarrow A \leq 2+a+2b+c+a+b+2c+2a+b+c=2+4a+4b+4c=6
Dấu = khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

 

[duchieu300699]

Ta có
$A^2$=$(\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a})^2$
=a+b+b+c+c+a+2$\sqrt[]{(a+b)(b+c)}$+2$\sqrt[]{(b+c)(c+a)}$+2$\sqrt[]{(c+a)(a+b)}$
=2+2$\sqrt[]{(a+b)(b+c)}$+2$\sqrt[]{(b+c)(c+a)}$+2$\sqrt[]{(c+a)(a+b)}$
Ta có
2$\sqrt[]{(a+b)(b+c)}$ \leq a+b+b+c =a+2b+c
2$\sqrt[]{(b+c)(c+a)}$ \leq b+c+c+a=a+b+2c
2$\sqrt[]{(c+a)(a+b)}$ \leq c+a+a+b=2a+b+c
\Rightarrow A \leq 2+a+2b+c+a+b+2c+2a+b+c=2+4a+4b+4c=6
Dấu = khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

Tìm Min mà bạn, chứ còn max thì mình biết rồi
@};-

 

[forum_]

Muốn min thì có min =))

Dùng phép biến đổi tương đương, ta chứng minh đc bđt phụ:

$\sqrt[]{A}+\sqrt[]{B}+\sqrt[]{C}$ \geq $\sqrt[]{A+B+C}$

Dấu "=" xảy ra $\iff \left\{\begin{matrix} AB =0 \\ BC=0 \\ CA = 0 \end{matrix}\right.$

Áp dụng cái đó

Ha ha =))
:xVăn Đức Hiếu ♥ Nguyến Thị Kim Ngân :x