cực trị

[sytuoi123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b,c>0 và a+b+c=abc.
Tìm GTLN : $\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$

 

[soicon_boy_9x]

Đặt biểu thức cần tìm cực trị là A

$a+b+c=abc \leftrightarrow \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}
{ca}=1$

Đặt $\dfrac{1}{a}=x \ \ \ \ \ \dfrac{1}{b}=y \ \ \ \ \ \dfrac{1}{c}=z$

$\rightarrow xy+yz+xz=1$

Ta có: $\dfrac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}
=\dfrac{1}{\sqrt{bc(\dfrac{1}{a^2}+1)}}$

$=\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\sqrt{yz}}
{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}$

$=\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{y}
{x+y}+\dfrac{z}{x+z})$

Tương tự $\dfrac{b}{\sqrt{ca(1+b^2}} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{x}
{x+y}+\dfrac{z}{y+z})$

Tương tự $\dfrac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{x}
{x+z}+\dfrac{y}{y+z})$

Cộng từng vế ta có:

$A \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{x+z}{x+z}+
\dfrac{y+z}{y+z})=1,5$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leftrightarrow
a=b=c=\sqrt{3}$