Cực trị và phương trình vô tỷ

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}≥ \dfrac{a+b+c}{3}$
$\dfrac{1}{a^3 + abc + b^3}+ \dfrac{1}{b^3 + abc+c^3} + \dfrac{1}{c^3 + abc +a^3} ≤ \dfrac{1}{abc}$
II phương trình vô tỷ
$(\sqrt[]{x + 9}+ 3).(x+1 +\sqrt[]{x-7}) =8x$


CÂU CUỐI MÌNH TRÍCH Ở ĐỀ THI VÀO LỚP 10.@-)o=>/

 

[pe_lun_hp]

Bài 1:

$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}≥ \dfrac{a+b+c}{3}$

.'Làm mấy câu BDT này nguy hiểm nếu anh bò xác nhận )

$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2} + \dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2} + \dfrac{c^4}{c^3+c^2a+ca^2}$

Ta có :

$VP ≥ \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3 +ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$

Cm thông qua BDT phụ.

$3(a^2+b^2+c^2)^2 ≥ (a+b+c)[a^3+b^3+c^3 +ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$]

Vì $3(a^2+b^2+c^2)^2 ≥ (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2) = (a+b+c)[a^3+b^3+c^3 +ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$]

-> đpcm

Mod đừng gộp bài của em nhé
BDT chung 1 bài nó rối mắt lắm

@Bosjeunhan: Anh thấy gộp xong nó có rối gì đâu?

Bài 2:

$\dfrac{1}{a^3 + abc + b^3}+ \dfrac{1}{b^3 + abc+c^3} + \dfrac{1}{c^3 + abc +a^3} ≤ \dfrac{1}{abc}$

Vì a,b,c>0 nên :

$\dfrac{abc}{a^3+b^3+abc} + \dfrac{abc}{b^3+c^3+abc} + \dfrac{abc}{c^3+a^3+abc} ≤ 1 $

Ta có BDT : $a^3 + b^3 ≥ ab(a+b)$ nên :

$\dfrac{abc}{a^3+b^3+abc} + \dfrac{abc}{b^3+c^3+abc} + \dfrac{abc}{b^3+c^3+abc} ≤ \dfrac{abc}{ab(a+b) +abc} + \dfrac{abc}{bc(b+c) +abc} +\dfrac{abc}{ac(a+ac) +abc} = \dfrac{c}{a+b + c} + \dfrac{a}{a+b + c} + \dfrac{b}{a+b + c} =1$

-> đpcm

 

[vansang02121998]

$A=\sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}$

$\leftrightarrow A=\sum a - \sum \dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}$

$\rightarrow A \ge \sum a - \sum \dfrac{ab(a+b)}{3ab}$

$\leftrightarrow A \ge \sum a - \sum \dfrac{a+b}{3}=\dfrac{\sum a}{3}$

 

[luc876]

Ta Có: $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} = a -$\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+ab+b^2}
\geq a - $\dfrac{ab(a+b)}{3ab} (bdt cosi)=a-$\dfrac{a+b}{3}
tương tự => VT \geq a+b+c- $\dfrac{2a+2b+2c}{3} = $\dfrac{a+b+c}{3} ( ĐPCM)


Độc Dáo wá. coi co dúng ko nha. Nhưng có lẽ Dúng khoảng 1000 phần trăm

 

[luc876]

Ta Có: $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} = a -$\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+ab+b^2}
\geq a - $\dfrac{ab(a+b)}{3ab} (bdt cosi)=a-$\dfrac{a+b}{3}
tương tự => VT \geq a+b+c- $\dfrac{2a+2b+2c}{3} = $\dfrac{a+b+c}{3} ( ĐPCM)


Bạn Tự dịch nha...????