Đề bài:
y=x^3-3mx^2+4m^3 (Cm)
>> Xác định m để (Cm) có cực đại và cực tiểu đối xứng qua y =x.
[TEX]y=x^3-3mx^2+4m^3[/TEX]
[TEX]y'= 3x^2-6mx[/TEX]
chia y cho y' được thương [TEX]\frac{1}{3}x-\frac{m}{3}[/TEX] và dư là [TEX]{-2m^2x+4m^3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y = (\frac{1}{3}x-\frac{m}{3}).y' + ({-2m^2x+4m^3})[/TEX]
Giả sử hàm số tồn tại cực trị thì tại cực trị y'=0 nên
[TEX]\Rightarrow y = {-2m^2x+4m^3} (d_1)[/TEX]
Đây chính là pt qua 2 cực trị
Do 2 cực trị đối xứng nhau qua đường [TEX]d_2: y=x[/TEX] nên d1 vuông d2
[TEX]\Rightarrow k_1. k_2 =-1 \Rightarrow -2m^2.1 = -1 \Rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]
Thử lại m xem có thoả mãn bài toán không là ok
[TEX]y'=3x^2 - 6mx = 3x(x-2m)[/TEX]
[TEX]y'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=0}\\{x = 2m}[/TEX]
Để đồ thị có CĐ,CT thì pt y'=0 có 2 no pb
[TEX]\Leftrightarrow \large\Delta' =9m^2 >0 \Leftrightarrow \fbox{m \neq 0}[/TEX]
Do đó=> 2 điểm Cực Trị [TEX]A(0;4m^3); B(2m;0)[/TEX]
đt y=x \Leftrightarrow x-y=0
Để CĐ, CT đx vs nhau qua đt d: x-y=0 thì
[TEX]d(A;d) = d(B;d)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |-4m^3| = |2m|[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \fbox{m=\pm \frac{\sqrt2}{2}}[/TEX]
bài này vẫn phải thử lại m có thoả mãn hay ko
vì tất cả chỉ là suy ra, không phải tương đương.
2 cực trị đối xứng nhau qua đường [TEX]d_2: y=x[/TEX] suy ra [TEX]d(A/ d_2) = d(B/ d_2)[/TEX]
nhưng [TEX]d(A/ d_2) = d(B/ d_2)[/TEX] không đảm bảo là hai cực trị sẽ đối xứng nhau qua [TEX]y=x[/TEX].
hình vẽ
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
